Separabilität von Folgenräumen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Wieso ist der Raum [mm] l^{\infty} [/mm] nicht separabel? Wenn ich strikt nach dem Satz vorgehe, dann wähle ich mir als totale Folge [mm] x_{i}:= e_{i}:= [/mm] (0,0,0,...,0,1,0,0,...) mit der 1 an der i. Stelle der Folge und sonst überall Nullen. Jetzt sollte ich doch jede Folge aus [mm] l^{\infty} [/mm] mit einer Linearkombination der [mm] x_{i} [/mm] darstellen können, d.h. [mm] span\{x_{i}, i \in \IN\} [/mm] liegt dich in [mm] l^{\infty} [/mm] |
Hallo Zusammen!
Ich lerne gerade auf meine Prüfung in Funktionalanalysis und dabei ist mir folgendes Problem untergekommen:
Vorgeschichte:
Es gibt einen Satz der besagt, dass ein normierter Raum genau dann separabel ist, wenn es eine totale Folge in X gibt.
Anm.: Eine totale Folge in X ist eine Folge [mm] x_{n} \subset [/mm] X (X ist ein normierter Raum), so dass [mm] span\{x_{n}, n \in \IN\} [/mm] dicht liegt in X
Meine eigentliche Frage lautet jetzt:
Wieso ist der Raum [mm] l^{\infty} [/mm] nicht separabel? Wenn ich strikt nach dem Satz vorgehe, dann wähle ich mir als totale Folge [mm] x_{i}:= e_{i}:= [/mm] (0,0,0,...,0,1,0,0,...) mit der 1 an der i. Stelle der Folge und sonst überall Nullen. Jetzt sollte ich doch jede Folge aus [mm] l^{\infty} [/mm] mit einer Linearkombination der [mm] x_{i} [/mm] darstellen können, d.h. [mm] span\{x_{i}, i \in \IN\} [/mm] liegt dich in [mm] l^{\infty}
[/mm]
Wo liegt mein Denkfehler?
Ich danke euch schon mal für eure Bemühungen,
Viele Grüsse,
Thomas
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> Wieso ist der Raum [mm]l^{\infty}[/mm] nicht separabel? Wenn ich
> strikt nach dem Satz vorgehe, dann wähle ich mir als totale
> Folge [mm]x_{i}:= e_{i}:=[/mm] (0,0,0,...,0,1,0,0,...) mit der 1 an
> der i. Stelle der Folge und sonst überall Nullen. Jetzt
> sollte ich doch jede Folge aus [mm]l^{\infty}[/mm] mit einer
> Linearkombination der [mm]x_{i}[/mm] darstellen können, d.h.
> [mm]span\{x_{i}, i \in \IN\}[/mm] liegt dich in [mm]l^{\infty}[/mm]
> Hallo Zusammen!
>
> Ich lerne gerade auf meine Prüfung in Funktionalanalysis
> und dabei ist mir folgendes Problem untergekommen:
>
> Vorgeschichte:
> Es gibt einen Satz der besagt, dass ein normierter Raum
> genau dann separabel ist, wenn es eine totale Folge in X
> gibt.
>
> Anm.: Eine totale Folge in X ist eine Folge [mm]x_{n} \subset[/mm] X
> (X ist ein normierter Raum), so dass [mm]span\{x_{n}, n \in \IN\}[/mm]
> dicht liegt in X
>
> Meine eigentliche Frage lautet jetzt:
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> Wieso ist der Raum [mm]l^{\infty}[/mm] nicht separabel? Wenn ich
> strikt nach dem Satz vorgehe, dann wähle ich mir als totale
> Folge [mm]x_{i}:= e_{i}:=[/mm] (0,0,0,...,0,1,0,0,...) mit der 1 an
> der i. Stelle der Folge und sonst überall Nullen. Jetzt
> sollte ich doch jede Folge aus [mm]l^{\infty}[/mm] mit einer
> Linearkombination der [mm]x_{i}[/mm] darstellen können, d.h.
> [mm]span\{x_{i}, i \in \IN\}[/mm] liegt dich in [mm]l^{\infty}[/mm]
>
> Wo liegt mein Denkfehler?
Eine Linearkombination der [mm] $x_i$ [/mm] besitzt nur endlich viele Koordinaten [mm] $\neq [/mm] 0$. Sie hat also z.B. von [mm] $(1,\ldots)\in \ell^\infty$ [/mm] stets Abstand [mm] $\geq [/mm] 1$.
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