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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Selbstadjungierte Matrix
Selbstadjungierte Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Selbstadjungierte Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:56 Do 02.02.2006
Autor: papillon

Aufgabe
Zu zeigen:Für jede selbstadjungierte Matrix gilt:

[mm] Sp(A^{2}) [/mm] =  [mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n} |a_{ij}|^2 [/mm]


=  [mm] \summe_{i=1}^{k} \tau_{l} \lambda_{l}^2 [/mm]

Mit [mm] \lambda [/mm] als Eigenwerten und [mm] \tau [/mm] als alg. Vielfachheit.

Ich weiß:

Sp(A) = [mm] \lambda_{1}*\tau_{1} [/mm] + ... +  [mm] \lambda_{k}*\tau_{k} [/mm]

Aber wie kann ich die Identität beweisen?

        
Bezug
Selbstadjungierte Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:02 Do 02.02.2006
Autor: Stefan

Hallo papillon!

Wohl einer meiner letzten Tipps im Matheraum:

Das Diagonalelement an der Stelle $(i,i)$ von [mm] $A^2=AA^{\star}$ [/mm] lautet

[mm] $\sum\limits_{j=1}^n |a_{ij}|^2$. [/mm]

Rechne doch mal [mm] $AA^{\star}$ [/mm] aus, dann siehst du es...

Liebe Grüße
Stefan

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Selbstadjungierte Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:10 Do 02.02.2006
Autor: papillon

Danke für die prompte hilfe, aber ich seh da noch nix. Vielleicht kannst du deinen tipp für mich ein wenig konkretisieren?

Warum einer deiner letzten tipps?

Du hast mir hier schon echt gut weitergeholfen!

Bezug
                        
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Selbstadjungierte Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:15 Do 02.02.2006
Autor: Stefan

Hallo papillon!

Wie siehst denn das Element an der Stelle $(i,j)$ aus von [mm] $AA^{\star}$? [/mm]

[mm] $\sum\limits_{k=1}^n a_{ik} \overline{a_{jk}}$. [/mm]

(Denn das Element an der Stelle $(k,j)$ von [mm] $A^{\star}$ [/mm] ist [mm] $\overline{a_{jk}}$.) [/mm]

Insbesondere folgt wegen

[mm] $a_{ik}\overline{a_{ik}} [/mm] = [mm] |a_{ik}|^2$ [/mm]

die Behauptung im Falle $i=j$.

> Warum einer deiner letzten tipps?
>  
> Du hast mir hier schon echt gut weitergeholfen!

Danke für das Kompliment! :-)

Liebe Grüße
Stefan

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Bezug
Selbstadjungierte Matrix: Frage (für Interessierte)
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 17:26 Fr 03.02.2006
Autor: papillon

Ich seh aber immer noch nicht, wie ich das mit den lambdas und müs beiweisen kann. Ich glaub ich bin blind...

Bezug
                                        
Bezug
Selbstadjungierte Matrix: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:32 Di 07.02.2006
Autor: matux

Hallo papillon!


Leider konnte Dir keiner mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.

Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück [kleeblatt] .

Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent

Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.


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