Selbstadjungiert/Eigenwerte < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Fr 17.06.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hätte eine Frage. Und zwar: Hat ein selbstadjungierter Endomorphismus immer positive Eigenwerte? Wenn ja, warum ist das so?
Danke für die Hilfe.
Lg, Moe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:21 Fr 17.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Moe!
> ich hätte eine Frage. Und zwar: Hat ein selbstadjungierter
> Endomorphismus immer positive Eigenwerte? Wenn ja, warum
> ist das so?
Nein, er hat immer reelle Eigenwerte, aber nicht notwendigerweise positive. Wie kommst du darauf?
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Fr 17.06.2005 | | Autor: | Moe007 |
hallo,
danke für die Antwort. Ich hab gedacht, wenn eine Funktion selbstadjungiert ist, dann hat sie immer pos. EW.
Beispielsweise: wenn ich zeige, dass z [mm] \circ z^{*} [/mm] selbstadjungiert ist, bekomme ich als EW immer 0 und 1: (z ist ein unitärer Endomorp.)
[mm] \delta(z^{*}(x),z(x)) [/mm] = [mm] \delta(z^{*}(x),\lambda [/mm] x)= [mm] \overline{\lambda} \delta(z^{*}(x),x) [/mm] = [mm] \overline{\lambda} \delta(x,z(x))= \overline{\lambda} \delta(x, \lambda [/mm] x) = [mm] \overline{\lambda} \overline{\lambda}\delta [/mm] (x, x) = [mm] \delta(x,\lambda^{2}x) [/mm] > 0
d.h. [mm] \lambda^{2} [/mm] x = [mm] \lambda [/mm] x
[mm] \lambda^{2} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] da x ungleich 0
[mm] \lambda^{2} [/mm] - [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] \lambda [/mm] ( [mm] \lambda [/mm] - 1) = 0
also [mm] \lambda [/mm] = 0 oder [mm] \lambda [/mm] = 1
Also sind die EW immer [mm] \ge [/mm] 0.
Gruß, Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Fr 17.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Moe!
> hallo,
> danke für die Antwort. Ich hab gedacht, wenn eine Funktion
> selbstadjungiert ist, dann hat sie immer pos. EW.
> Beispielsweise: wenn ich zeige, dass z [mm]\circ z^{*}[/mm]
> selbstadjungiert ist, bekomme ich als EW immer 0 und 1: (z
> ist ein unitärer Endomorp.)
Aber das ist doch dann eine spezielle Situation, oder wie? Es sind doch nicht alle selbstadjungierten Endomorphismen von dieser Form. Das verstehe ich überhaupt nicht. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
> [mm]\delta(z^{*}(x),z(x))[/mm] = [mm]\delta(z^{*}(x),\lambda[/mm] x)=
> [mm]\overline{\lambda} \delta(z^{*}(x),x)[/mm] = [mm]\overline{\lambda} \delta(x,z(x))= \overline{\lambda} \delta(x, \lambda[/mm]
> x) = [mm]\overline{\lambda} \overline{\lambda}\delta[/mm] (x, x) =
> [mm]\delta(x,\lambda^{2}x)[/mm] > 0
> d.h. [mm]\lambda^{2}[/mm] x = [mm]\lambda[/mm] x
Wie kommst du auf diese Folgerung?
Tut mir leid, ich kann dem zur Zeit nicht folgen. Ich würde ja gerne helfen, aber ich kapiere es so einfach nicht, was du genau meinst. Kannst du es vielleicht noch einmal etwas strukturierter aufschreiben, unter Beachtung meiner Zwischenfragen?
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 So 19.06.2005 | | Autor: | Moe007 |
hallo,
ich hab das so aus dem Skript übernommen. Beim genauen Durchschauen hab ich festgestellt, dass das echt nur ein Spezialfall ist. Sorry!!! 
Aber wie zeigt man nun denn dass alle EW [mm] \ge [/mm] 0 sind, wenn [mm] f\circ f^{*} [/mm] selbstadjungiert ist? Dass [mm] f\circ f^{*} [/mm] selbstadjungiert ist, ist klar, denn ( [mm] f\circ f^{*})^{*} [/mm] = [mm] f^{**} \circ f^{*} [/mm] = f [mm] \circ f^{*}
[/mm]
Gruß, Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:14 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Moe!
Okay, dann sieht die Sache natürlich anders aus.
Also, es sei [mm] $\lambda$ [/mm] ein Eigenwert von $f [mm] \circ f^{\*}$ [/mm] und $v$ ein dazugehöriger normierter Eigenvektor, d.h. es gilt:
$(f [mm] \circ f^{\*})(v) [/mm] = [mm] \lambda \cdot [/mm] v$
und
[mm] $\Vert [/mm] v [mm] \Vert [/mm] = [mm] \sqrt{\langle v,v \rangle} [/mm] =1$.
Dann folgt:
[mm] $\lambda [/mm] = [mm] \lambda \cdot [/mm] 1 = [mm] \lambda \cdot \langle [/mm] v,v [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle \lambda \cdot [/mm] v,v [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] (f [mm] \circ f^{\*})(v),v \rangle [/mm] = [mm] \langle f^{\*}v,f^{\*}v \rangle \ge [/mm] 0$,
da [mm] $\langle \cdot [/mm] , [mm] \cdot \rangle$ [/mm] positiv definit ist.
Viele Grüße
Julius
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