Seitenlängen&Winkel im Dreieck < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Folgende Aufgabe:
Berechne im Dreieck ABC mit A(3/0/0), B (0/3/0) und C (0/0/4) die Seitenlängen und die Größen der Innenwinkel! Welche besondere Eigenschaft hat das Dreieck?
Mein Ansatz:
[mm] |\overline{AB}| [/mm] = [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vec{b}- \vec{a}
[/mm]
[mm] |\overline{BC}| [/mm] = [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] = [mm] \vec{c}- \vec{b}
[/mm]
[mm] |\overline{AC}| [/mm] = [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] = [mm] \vec{c}- \vec{a}
[/mm]
[mm] |\overline{AB}| [/mm] = [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \wurzel{ (\vektor{0 \\ 3 \\ 0}- \vektor{3 \\ 0 \\ 0})^2} [/mm] = [mm] \wurzel{ \vektor{-3 \\ 3 \\ 0}^2} [/mm] = [mm] \wurzel{-9+9} [/mm] = 0
d.h. meine Seitenlänge [mm] |\overline{AB}| [/mm] ist 0 lang. Das würde aber bedeuten, dass es diese Seite gar nicht im Dreieck gibt und es somit auch kein Dreieck gibt.
[mm] |\overline{BC}| [/mm] = [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] = [mm] \wurzel{ (\vektor{0 \\ 0 \\ 4}- \vektor{0 \\ 3 \\ 0})^2} [/mm] = [mm] \wurzel{ \vektor{0 \\ -3 \\ 4}^2} [/mm] = [mm] \wurzel{7} \approx [/mm] 2,65
[mm] |\overline{AC}| [/mm] = [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] = [mm] \wurzel{ (\vektor{0 \\ 0 \\ 4}- \vektor{3 \\ 0 \\ 0})^2} [/mm] = [mm] \wurzel{ \vektor{-3 \\ 0 \\ 4}^2} [/mm] = [mm] \wurzel{7} \approx [/mm] 2,65
Das Besondere an diesem Dreieck wäre also, dass es ein gleichschenkliges Dreieck ist.
Wie berechne ich die Innenwinkel?
Danke,
Stephi
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Hallo, Stephi
also die Länge einer Strecke ist bestimmt nicht ein Vektor
richtig
geschrieben müsste es Lauten, wenn man die "|..|"
einerseits als "Länge von ..." liest und andrerseits
als Betrag des Vektors,
$| [mm] \overline{AB} [/mm] = [mm] |\vec{AB}|$
[/mm]
und
der Betrag eines Vektors ist die [mm] $\sqrt{..}$ [/mm] aus
der Summe der Quadrate der Komponenten;
man kann auch sagen [mm] $\sqrt{ \text{Skalarprodukt mit sich selbst}}$
[/mm]
in diesem Sinne könnte man die Qudrate unter Deinen Wurzeln
durchgehen lassen
aber (-3)² ist trotzdem +9, also [mm] $|\overline{AB}| [/mm] = [mm] 3*\sqrt{2}$
[/mm]
Dass
das 3eck gleichschenkelig ist stimmt, aber
die Schenkellänge berechne bitte richtig
wie wie für [mm] $|\overline{AB}|$ [/mm] angemerkt.
In
einem gleichschenkeligem 3eck teilt die Basishöhe
es in 2 gleiche rechtwinkgelige, für die hier
Schenkel Hypothenusen sind und die halbe Basis
eine Kathete, woraus sich der Cosinus der
Basiswinkel ergibt.
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Hallo,
ich habe eine Formel, und zwar:
[mm] cos\beta [/mm] = cos (Winkel( [mm] \overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BA} [/mm] = [mm] \bruch{ \overrightarrow{BC}\*\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BC}|*|\overrightarrow{BA}|} [/mm]
Also:
[mm] cos\beta=\bruch{\vektor{0 \\ -3 \\ 4}\*\vektor{3 \\ -3 \\ 0}}{5*-\wurzel{18}}
[/mm]
[mm] cos\beta= \bruch{9}{21,21}
[/mm]
[mm] cos\beta= [/mm] 0,42426...
[mm] \beta [/mm] = 64,8959...
Hoffe, dass das richtig ist.
Das gleiche muss ich dann noch für [mm] \alpha [/mm] und [mm] \gamma [/mm] machen, aber mit veränderter Formel, richtig?
Stephi
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Die Formel reicht für den Rest auch, kannst die cos Formel auch anwenden. Wenn du dann zwei Innenwinkel hast, kannst du leicht den letzten berechnen. 180- [mm] \beta- \gamma= \alpha
[/mm]
Gruß Jens
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Es gilt doch: [mm] (-3)^2 [/mm] = +9
