Seitenhalbierende im Dreieck < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:07 Mo 22.02.2010 | | Autor: | coucou |
| Aufgabe | Bekanntlich schneiden sich die Seitenhalbierenden eines Dreiecks in einem Punkt s.
a) Berechnen Sie den Punkt s für das abgebildete Dreieck.
b) Weisen Sie nach, dass alle Seitenhalbierenden des Dreiecks durch diesen Punkt verlaufen. |
Hallo!
Also, bei a habe ich gar keine Ahnung. Wie soll man denn diesen Schnittpunkt ausrechnen?
Und bei b würde ich den Pnunkt dann einfach mit der jeweiligen Gleicung gleichsetzen. Nur wie komme ich auf die?
Lg,
coucou
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Hallo,
was ist denn vom Dreieck bekannt? Ich sehe hier kein Dreieck. Erstelle mal das Dreieck mit Angaben der Koordinaten.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Mo 22.02.2010 | | Autor: | coucou |
So, ich hab mal versucht, es zu zeichnen.
Hoffe das hilft.
LG
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Mo 22.02.2010 | | Autor: | Spencer |
Hallo,
kurze Frage biste im 2 oder 3 dimensionalen Raum ?!
im 2D kannste den Punkt S mit hilfe von Strahlensätzen herausbekommen. Die Seitenh. werden da ja im Verhältnis 2:1 geteilt.
gruß Spencer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Mo 22.02.2010 | | Autor: | coucou |
Nee, leider 3D.
Vektoren usw eben ...
lg
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Hallo!
Ich kann zwar deiner Zeichnung noch nicht genau entnehmen, welche Punkte es sind (x,y oder z-Achse nicht beschriftet), aber grundsätzlich solltest du jetzt Folgendes machen:
- Wir brauchen die Koordinaten der Punkte. Lies diese also auch der Zeichnung ab und schreib sie auf.
- Die Seitenhalbierenden schneiden sich im Schwerpunkt des Dreiecks. Dieser lässt sich sehr einfach bestimmen: Hat ein Dreieck die drei Ortsvektoren [mm] \vec{OA},\vec{OB},\vec{OC}, [/mm] dann ist der Schwerpunkt-Ortsvektor: [mm] \frac{\vec{OA} + \vec{OB} +\vec{OC}}{3}.
[/mm]
- Damit hast du schonmal den gesuchten Punkt S. In der zweiten Teilaufgabe wird jetzt der Nachweis verlangt, dass die Seitenhalbierenden wirklich durch den Schwerpunkt gehen. Du musst jetzt also wohl oder übel die drei Seitenhalbierenden als Geraden in Parameterform im Raum berechnen.
- Wie machst du das: Seitenhalbierende in einem Dreieck sind folgendermaßen charakterisiert: Sie gehen durch einen Eckpunkt und durch den Mittelpunkt der (dem Eckpunkt) gegenüberliegenden Seite.
- Berechne also zunächst die Mittelpunkte der Seiten AB, BC und CA. Dies geht leicht durch einfaches Mittelwertbilden der Ortsvektoren, der Mittelpunkt-Ortsvektor der Seite AB ist zum Beispiel: [mm] \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}.
[/mm]
- Nun berechne die Seitenhalbierenden als Geraden in Parameterform! Du weißt jeweils zwei Punkte, auf welchen die Geraden liegen, daraus kannst du deine Geraden basteln. Z.B. erste Seitenhalbierende geht durch
Punkt A: [mm] \vec{OA}, [/mm] und durch Mittelpunkt der Seite BC, [mm] \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2}.
[/mm]
- Um nun die Aufgabenstellung zu erfüllen, musst du prüfen, ob der Punkt auf diesen Geraden liegt. Führe dazu jeweils die Punktprobe durch.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mo 22.02.2010 | | Autor: | coucou |
Hallo,
danke erstmal für die tolle ausführliche Antwort. Auf den Schnittpunkt S bin ich jetzt gekommen. Er stimmt auch, ich weiß die Lösung.
Jetzt bin ich also bei Aufgabenteil b) und frage mich was du mit "Geraden in Parameterform im Raum" meinst?
Soll ich die Geradengleichungen aufstellen? mit den Punkten A und B für die Strecke AB usw. und dann den Betrag nehmen?
LG.
Vielen Dank!
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Hallo,
> Jetzt bin ich also bei Aufgabenteil b) und frage mich was
> du mit "Geraden in Parameterform im Raum" meinst?
> Soll ich die Geradengleichungen aufstellen? mit den
> Punkten A und B für die Strecke AB usw. und dann den
> Betrag nehmen?
Genau, du sollst die Geradengleichungen der Seitenhalbierenden aufstellen.
(Und zwar in Parameterform).
Wie du das tust, hatte ich beschrieben:
Eine Seitenhalbierende eines Dreiecks geht durch einen Eckpunkt und durch den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite.
Damit hast du zwei Punkte, durch welche die Geraden gehen soll, und du kannst mit dir bekannten Mitteln die Geradengleichung aufstellen.
Der Eckpunkt bildet zum Beispiel den Ortsvektor der Geraden, die Differenz der Ortsvektoren vom Eckpunkt und Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite bilden den Richtungsvektor der Geraden.
Grüße,
Stefan
PS.: Bei weiteren Posts bitte mal die Punkte mit hinschreiben, und deine Rechnung.
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