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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 Fr 25.02.2005 | | Autor: | Survivor |
Hallo Alle
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ich habe folgende Aufgabe im Abitur gehabt und würde jetzt gerne wissen wie ich das zeige und wo mein ansatz fehler lag
Es geht darum das bei einem durch 3 Punkte im vektorraum gebildeten dreieck der Schnittpunkt der 3 Seitenhalbierenden gefunden werden soll.
Die Rechnung mit beispiel dafür ist kein problem allerdings soll ich jetzt beweisen das dies für alle Vektoren gilt die Linear unabhängig sind
ich habe mir deswegen gedacht, da das ja sogar mit allen Vektoren geht ich nehme einfach 3 allgemeine Vektoren:
[mm] \vec{a}=\vektor{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} \vec{b}=\vektor{ y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}} \vec{c}=\vektor{ z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3}}
[/mm]
und hier ist meine er Schwierigkeit das sind jetzt 3 allgemiene Vektoren wie sehen aber 3 allgemeine Vektoren aus die Linear Unabhängig sind.
dann weiter sind die mittelpunkte der Gegenüberliegenden Geraden die 2. Punkte der 3 Geraden dabei gilt [mm] M\overrightarrow{AB}= \bruch{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})
[/mm]
dann sind im allgemeinen:
[mm] M\overrightarrow{AB}=\bruch{1}{2}\vektor{ x_{1}+y_{1} \\ x_{2}+y_{2} \\ x_{3}+y_{3}} [/mm]
[mm] M\overrightarrow{BC}=\bruch{1}{2}\vektor{ y_{1}+z_{1} \\ y_{2}+z_{2} \\ y_{3}+z_{3}} [/mm]
[mm] M\overrightarrow{AC}=\bruch{1}{2}\vektor{ x_{1}+z_{1} \\ x_{2}+z_{2} \\ x_{3}+z_{3}} [/mm]
wenn ich jetzt daraus Geraden bilde.
Spriche:
g1: [mm] \vec{x}=\vec{a}+ \lambda*(M\overrightarrow{BC}-\vec{a})
[/mm]
g2: [mm] \vec{y}=\vec{b}+ \mu*(M\overrightarrow{AC}-\vec{b})
[/mm]
g3: [mm] \vec{z}=\vec{c}+ \nu*(M\overrightarrow{AB}-\vec{c})
[/mm]
von diesen dann 2 Schneide (hat ich noch nicht geschafft)
um dann einen Algemeinen Schnittpunkt heraus zu bekommen.
den ich dann zur kontrolle in die nicht verwendete Gerade einsetzen könnte um zu wissen das alle drei geraden in einem Schnittpunkt geschnitten sind.
mein gedanke ist jetzt wie berechne ich mit den vielen Variablen im additionsverfahren, oder gibt es einen anderen weg um das zu beweisen und (wie oben schon gesagt) wie sehen die allgemeine Linear Unabhängigen Vektoren aus. und würde der Weg mit denen funktionieren.
Als Ergebnis habe ich aufgrund meiner Geometrie kenntnisse und eines Beispieles:
[mm] x_{s}= \bruch{1}{3} \vektor{x_{1}+y_{1}+z_{1} \\ x_{2}+y_{2}+z_{2} \\ x_{3}+y_{3}+z_{3}}
[/mm]
die antwort ist nicht dringend
und danke für die hilfe
Gruß Survivor
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Hallo!!!
Es handelt sich hier um die allgemeine Herleitung des Schwerpunktes!!
Zeichne dir ein allgemeines Dreick im R³ auf!!
Die Seitenhalbierenden schneiden sich alle in einem Punkt S der diese Strecken = Strecke Mittelpunkt einer Seit mit dem zugehörigem Eckpunkt im Verhältnis 2:1!!
Wenn du ein allg. Dreieck aufzeichnest:
A,B,C sind die Eckpunkte:
[mm] S_{1},S_{2} [/mm] und [mm] S_{3} [/mm] sind die Mittelpunkte der seiten des Dreiecks!!
So nun bezeichnest du den Vektor [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] mit Y und
den Vektor [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] mit X!!!
So jetzt schreibst du folgenede Vektoren in Abhängigkeit von X und Y!!!
Übrigens: X=B-A und Y=C-A
S2-A=X+1/2*(Y-X)
S1-C=1/2*X-Y zeichne es dir auif und kontrolliere!!
so jetzt weißt du,dass S diese zwei Vektoren in einem bestimmten Verhältnis teilen bzw. das verhältnis sollten wir errechnen!!
Schreibe: S-A= a*(S2-A)=Y+b*(S1-C)
a,b sind Elemente aus R(reelle Zahlen!!
Also: a*(X+1/2*(Y-X))=Y+b*(1/2*X-Y)
So jetzt vereinfachst du und fast zusammen
=> (1/2a-1/2b)*X-Y*(1-b-1/2a)=0
X und Y sind nie Null!!! => Die Koeffizienten müssen 0 ergeben!!
=> a=b=2/3 => Wenn du in die Ausgangsgleichung einsetzt ein Verhälnis von 1:2!!!
So nu kannst du folgendes schreiben: S-A=2/3*(S2-A) Für S2-A wieder einsetzen und dann alles ausrechnen!!
=> S=1/3*(A+B+C)
Das mit den linear unabhängigen Vektoren ist für dich glaube ich nicht soo wichtig!!#
Nehmen wir an du hast 3 allgemeine Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] und
[mm] \vec{c}
[/mm]
a,b,c sind Elemente eines Vektorraumes: In deinem Fall R³,alles klar!!
So diese 3 Vektoren sind linear unabhängig wenn folgendes gilt:
[mm] \alpha [/mm] *a+ [mm] \beta [/mm] *b + [mm] \gamma [/mm] *c =0 NUR FÜR [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta=\gamma [/mm] =0
Das heißt anschaulich,dass die Vektorwen nicht parallel sein dürfen!!
ich finde es nur ein bisschen Verwirrend für dich,denn du weißt ja nicht genau was ein Vektorraum ist...
MFG Daniel
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