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Forum "Längen, Abstände, Winkel" - Seiten & Lot & Flächeninhalt
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Seiten & Lot & Flächeninhalt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:21 Do 08.10.2009
Autor: exec

Aufgabe
Ein Dreieck hat die Eckpunkte A (-3|1), B (0|0) und C (-1,5|4).
a) Berechnen Sie die Länge der Seite AC und ihren Mittelpunkt.
b) Vom Punkt C wird das Lot auf AB gefällt.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Lotfußpunktes.
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

a) Länge der Seite AC:
[mm]AC=\wurzel{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/mm]

[mm]AC=\wurzel{(-1,5-(-3))^2+(4-1)^2}[/mm]

[mm]AC=\bruch{3\wurzel{5}}{2}[/mm]


Mittelpunkt der Seite AC:
[mm]x_M=\bruch{x_1+x_2}{2}[/mm]

[mm]x_M=\bruch{-3-1,5}{2}[/mm]

[mm] x_M=-2,25 [/mm]

[mm] y_M=\bruch{y_1+y_2}{2} [/mm]

[mm] y_M=\bruch{1+4}{2} [/mm]

[mm] y_M=2,5 [/mm]

M (-2,25|2,5) der Seite AC


b) Geradengleichung aufstellen (Seite AB):

y=mx+b

[mm] y=-\bruch{1}{3}x [/mm]


Geradengleichung aufstellen (Lot):

y=mx+b

y=3x+b

-> Punkt C einsetzen

4=3*(-1,5)+b

b=8,5

y=3x+8,5

-> Geraden gleichsetzen

[mm] 3x+8,5=-\bruch{1}{3}x [/mm] |*(-3)

x=-9x-25,5 |+9x

10x=-25,5 |:10

x=-2,55

-> x in eine Geradengleichung einsetzen

y=3*(-2,55)+8,5

y=0,85

Koordinaten des Lotfußpunktes P (-2,55|0,85)


c) Seite AB berechnen:

[mm]AB=\wurzel{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/mm]

[mm]AB=\wurzel{(0-(-3))^2+(0-1)^2}[/mm]

[mm]AB=\wurzel{10}[/mm]


Seite BC berechnen:

[mm]BC=\wurzel{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/mm]

[mm]BC=\wurzel{(-1,5-0)^2+(4-0)^2}[/mm]

[mm]BC=\bruch{\wurzel{73}}{2}[/mm]


Heronsche Flächenformel:

[mm] s=\bruch{a+b+c}{2} [/mm]

-> BC,AC,AB einsetzen (Formeleditor streikt, sorry)

[mm] s\approx5,39419075 [/mm]

[mm] A=\wurzel{s(s-a)(s-b)(s-c)} [/mm]


[mm] A=\wurzel{5,39419075(5,39419075-\bruch{\wurzel{73}}{2})(5,39419075-\bruch{3*\wurzel{5}}{2})(5,39419075-\wurzel{10})} [/mm]

[mm] A\approx5,250000002 [/mm]

Fragen:
- Stimmen die Ergebnisse?
- Gibt es eine schnellere und/oder einfachere Methode um den Flächeninhalt auszurechnen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Gruß
exec

        
Bezug
Seiten & Lot & Flächeninhalt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:46 Do 08.10.2009
Autor: Steffi21

Hallo, ich habe ebenso deine Ergebnisse erhalten, gebe c) in einer sinnvollen Genauigkeit an, den Flächeninhalt kannst du z.B. auch über [mm] A=\bruch{1}{2}*a*b*sin(\gamma) [/mm] berechnen, du benötigst also einen Winkel, ob es schneller ist, habe ich nicht ausprobiert, ob es einfacher ist, liegt in deiner Entscheidung, die schnellste Variante wird über die Grundseite [mm] \overline{AB} [/mm] und die Höhe gehen, [mm] \overline{AB} [/mm] hast du schon, dann noch den Abstand von C und dem Lotfußpunkt berechnen, den Lotfußpunkt hast du ja auch schon, dann [mm] A=\bruch{1}{2}*g*h, [/mm] Steffi

Bezug
                
Bezug
Seiten & Lot & Flächeninhalt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:56 Fr 09.10.2009
Autor: exec

Hallo,

ersteinmal vielen Dank für deine Antwort ;-)

Habe nun probeweise die Aufgabe c mit Seite AB und mit dem Abstand von C auf den Lotfußpunkt ([mm]\overline{CP}[/mm]) gerechnet und habe ein anderes Ergebnis für den Flächeninhalt erhalten.

(Setze dort ein, wo sich die Rechnung verändert, für das vorherige siehe meine erste Frage)

[mm]\overline{CP}=\wurzel{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/mm]

[mm]\overline{CP}=\wurzel{(-2,55-(-1,5))^2+(0,85-4)^2}[/mm]

[mm]\overline{CP}=\bruch{21\wurzel{10}}{20}[/mm]

[mm]A=\bruch{c*h_c}{2}[/mm]

[mm]A=\bruch{\wurzel{10}*\bruch{21\wurzel{10}}{2}}{2}[/mm]

[mm]A=52,5[/mm]

im Vergleich dazu, die Lösung von der ersten Methode:

[mm]A=5,250000002 A\approx5,25[/mm]

Gruß
exec

Bezug
                        
Bezug
Seiten & Lot & Flächeninhalt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:04 Fr 09.10.2009
Autor: MathePower

Hallo exec,

> Hallo,
>  
> ersteinmal vielen Dank für deine Antwort ;-)
>  
> Habe nun probeweise die Aufgabe c mit Seite AB und mit dem
> Abstand von C auf den Lotfußpunkt ([mm]\overline{CP}[/mm])
> gerechnet und habe ein anderes Ergebnis für den
> Flächeninhalt erhalten.
>  
> (Setze dort ein, wo sich die Rechnung verändert, für das
> vorherige siehe meine erste Frage)
>  
> [mm]\overline{CP}=\wurzel{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/mm]
>  
> [mm]\overline{CP}=\wurzel{(-2,55-(-1,5))^2+(0,85-4)^2}[/mm]
>  
> [mm]\overline{CP}=\bruch{21\wurzel{10}}{20}[/mm]
>  
> [mm]A=\bruch{c*h_c}{2}[/mm]
>  
> [mm]A=\bruch{\wurzel{10}*\bruch{21\wurzel{10}}{2}}{2}[/mm]


Das muss doch hier so lauten:

[mm]A=\bruch{\wurzel{10}*\bruch{21\wurzel{10}}{2\red{0}}}{2}[/mm]


>  
> [mm]A=52,5[/mm]
>
> im Vergleich dazu, die Lösung von der ersten Methode:
>
> [mm]A=5,250000002 A\approx5,25[/mm]
>  
> Gruß
>  exec


Gruss
MathePower

Bezug
                        
Bezug
Seiten & Lot & Flächeninhalt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:06 Fr 09.10.2009
Autor: exec

Nachtrag: Habe den Fehler erkannt, habe statt

[mm]A=\bruch{\wurzel{10}\cdot{}\bruch{21\wurzel{10}}{20}}{2}[/mm]

[mm]A=\bruch{\wurzel{10}\cdot{}\bruch{21\wurzel{10}}{2}}{2}[/mm] verwendet.

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