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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:30 Di 10.05.2005 | | Autor: | xsjani |
Hallo,
wir haben eine Aufgabe zum Thema "gedämpfte Schwingung" bekommen. Vielleicht kann mir jemand eine Hilfestellung geben??
Also: Wir haben eine homogene Kugel mit Radius R und Dichte [mm] \delta. [/mm] Diese ist an einer vertikalen Feder mit der Steifigkeit k aufgehängt und befindet sich in einer Flüssigkeit der Viskosität [mm] \eta. [/mm] Legt man den Nullpunkt der y-Achse in die Ruhelage der Kugel und lenkt man die Kugel dann aus, vollführt sie eine Bewegung, die durch die Differentialgleichung
y'' + [mm] \bruch{9\eta} {2R^2\delta} [/mm] * y' + [mm] \bruch{3k} {4\pi R^3 \delta} [/mm] * y = 0
beschrieben wird.
Die Frage ist nun, wie gross das [mm] \eta [/mm] höchstens sein darf, damit die Kugel eine gedämpfte Schwingung vollführt???
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Hallo,
lese Dir mal unsere Forenregeln durch. Nur wenn wir wissen, wo Deine Schwierigkeiten sind, können wir Dir auch gezielt helfen. Deshalb poste auch immer Deine Ansätze.
> y'' + [mm]\bruch{9\eta} {2R^2\delta}[/mm] * y' + [mm]\bruch{3k} {4\pi R^3 \delta}[/mm]
> * y = 0
> Die Frage ist nun, wie gross das [mm]\eta[/mm] höchstens sein darf,
> damit die Kugel eine gedämpfte Schwingung vollführt???
das charakteristische Polynom der DGL hat dann komplexe Lösungen.
Gruß
MathjePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Di 10.05.2005 | | Autor: | xsjani |
Ja ich kenne ja die Forenregeln, aber leider habe ich für diese Aufgabe keinen Ansatz. Deswegen habe ich ja auch um eine Hilfestellung gebeten.
Trotzdem danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Di 10.05.2005 | | Autor: | MathePower |
Hallo xsjani,
betrachte das charakteristische Polynom der DGL [mm]y''\; + \;a\;y'\; + \;b\;y\; = \;0[/mm]. Es lautet
[mm]\lambda ^{2} \; + \;a\;\lambda \; + \;b\; = \;0[/mm]
Diese Gleichung hat folgende Lösungen für [mm]\lambda[/mm]:
[mm]\lambda _{1/2} \; = \;\frac{{ - \;a\; \pm \;\sqrt {a^{2} \; - \;4\;b} }}{2}[/mm]
Da das System eine gedämpfte Schwingung darstellen soll, muß [mm]
a^{2} \; - \;4\;b\; < \;0[/mm] sein.
Ich denke jetzt, den Rest bekommst Du hin.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Mi 11.05.2005 | | Autor: | dorsdn |
Sehr geehrter Herr MathePower,
Welchen Hintergrund hat die Voraussetzung der komplexen Lösung für gedämpfte Schwingungen im Allgemeinen?´
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Welchen Hintergrund hat die Voraussetzung der komplexen
> Lösung für gedämpfte Schwingungen im Allgemeinen?´
komplexe Lösungen werden für gedämpfte Schwingungen vorausgesetzt, da nur komplexe Lösungen einen trigonometrischen Anteil haben.
Denn nach Euler gilt:
[mm]e^{\left( {a\; + \;ib} \right)\;t} \; = \;e^{at} \;\left( {\cos \;bt\; + \;i\;\sin \;bt} \right)[/mm]
Und die trigonometrischen Funktionen sin und cos sind Bestandteil von Schwingungen.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:19 Do 12.05.2005 | | Autor: | dorsdn |
Vielen Dank!
Wenn es es mir recht überlege, hätte ich auch drauf kommen sollen!
MfG dorsdn
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