Schwieriges Eigenwertproblem < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:00 So 11.08.2013 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
irgendwie habe ich Schwierigkeiten bei dem folgenden Eigenwertproblem
[mm] $\lambda [/mm] w = [mm] c_2 \frac{1}{|Aw|}A^TAw$ [/mm] fuer [mm] $c_2>0$,
[/mm]
wobei [mm] $A\in\IR^{N,N}$ [/mm] nur Eigenwerte mit strikt positivem Realteil besitzt, d.h. [mm] $\mathrm{Re}\sigma(A)>0$. [/mm] Damit ist $A$ insbesondere invertierbar. Gesucht werden hierbei Eigenwerte [mm] $\lambda\in\IR$ [/mm] und Eigenvektoren [mm] $w\in\IR^N$ [/mm] mit Einheitslaenge, d.h. $|w|=1$, wobei [mm] $|\cdot|$ [/mm] die Euklidische Norm bezeichnet.
Wie gehe ich dieses Problem am besten an? Ideen, Tipps, Anregungen? Etwas merkwuerdig hierbei ist folgende Tatsache: Ist $w$ ein Eigenvektor, so ist $cw$ mit [mm] $c\in\IR$ [/mm] kein Eigenvektor!?
Ergaenzender Hinweis: [mm] $|Aw|=\sqrt{(w,A^TAw)}$
[/mm]
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:56 Do 15.08.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> irgendwie habe ich Schwierigkeiten bei dem folgenden
> Eigenwertproblem
>
> [mm]\lambda w = c_2 \frac{1}{|Aw|}A^TAw[/mm] fuer [mm]c_2>0[/mm],
Was genau ist gegeben, was ist gesucht?
Da $|A w|$ im Ausdruck vorkommt ist das kein "normales" Eigenwertproblem. Kommt das ganze aus einem bestimmten Rahmen? Bzw. wieso bezeichnest du sowas als "Eigenwertproblem"?
> wobei [mm]A\in\IR^{N,N}[/mm] nur Eigenwerte mit strikt positivem
> Realteil besitzt,
Hier sind klassische Eigenwerte gemeint, oder?
> d.h. [mm]\mathrm{Re}\sigma(A)>0[/mm]. Damit ist [mm]A[/mm]
> insbesondere invertierbar. Gesucht werden hierbei
> Eigenwerte [mm]\lambda\in\IR[/mm] und Eigenvektoren [mm]w\in\IR^N[/mm] mit
> Einheitslaenge, d.h. [mm]|w|=1[/mm], wobei [mm]|\cdot|[/mm] die Euklidische
> Norm bezeichnet.
Und heir meinst du mit Eigenvektoren und Eigenwerten Loesungen $(w, [mm] \lambda)$ [/mm] der obigen Gleichung (von der [mm] $c_2$ [/mm] und $A$ gegeben sind)?
> Wie gehe ich dieses Problem am besten an? Ideen, Tipps,
> Anregungen? Etwas merkwuerdig hierbei ist folgende
> Tatsache: Ist [mm]w[/mm] ein Eigenvektor, so ist [mm]cw[/mm] mit [mm]c\in\IR[/mm] kein
> Eigenvektor!?
Bei "richtigen" Eigenvektoren stimmt das nicht (ausser $c = 0$), wenn man die Loesungen vom obigen Problem jedoch als "Eigenvektoren" bezeichnet ist das durchaus der Fall, da die rechte Seite der Gleichung das $c$ aus $c w$ herauskuerzt.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Mi 28.08.2013 | | Autor: | Denny22 |
Danke für Deine Rückmeldung. Diese hat mich nochmals zum Nachdenken gebracht. Problem ist mittlerweile gelöst. Dank Dir nochmals.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Do 15.08.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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