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| Aufgabe | | Berechnen sie den schwerpunkt der fläche, die durch die kardioide (herzkurve) [mm] $r_{1}=1+cos(\phi)$ [/mm] den mittelpunktskreis [mm] $r_{2}=2$ [/mm] und die beiden strahlen [mm] $\phi_{1}=0$ [/mm] und [mm] $\phi_{2}=\pi$ [/mm] berandet wird. |
salute zusammen...
also die funktionsgleichungen sollten dann wohl so aussehen:
[mm] $r_{1}(\phi)=1+cos(\alpha)$
[/mm]
[mm] $r_{2}(\phi)=2$
[/mm]
habe erstmal für beide funktionen die fläche berechnet
somit:
[mm] $A_{1}=\bruch{3\pi}{4}$
[/mm]
[mm] $A_{2}=2\pi$
[/mm]
somit: [mm] $A=A_{2}-A_{1}=2\pi-\bruch{3\pi}{4}=\bruch{5\pi}{4}$
[/mm]
sollte soweit auch noch stimmen aber nu häng ich fest...wie berechne ich nun den schwerpunkt der eingeschlossenen fläche ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
muss ich den für beide flächen getrennt berechnen und dann irgendwie aus den beiden einzelnen schwerpunkten den schwerpunkt der eingeschlossenen fläche ermitteln oder kann ich das auch insofern machen
[mm] $x_{s}=\integral_{0}^{\pi}\integral_{0}^{r_{2}-r_{1}} rcos(\phi)\, [/mm] r dr [mm] d\phi$
[/mm]
aber dann hätte ich später [mm] $cos^3(\phi)$ [/mm] zu integrieren und damit hätte ich dann schon mein nächstes problem...
mach mir darüber schon etliche stunden gedanken aber es bleibt dunkel...
kann mir an dieser stelle bitte jemand behilflich sein? ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
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Hallo!
Deine Integralformel ist schon gut so, allerdings stimmt da was mit der Grenze nicht. r wird durch die Herzkurve unten und durch den Kreis oben begrenzt.
Für die Fläche gilt dann:
[mm] $A=\integral_{0}^{\pi}\integral^{2}_{1-\cos(\phi)} [/mm] r dr [mm] d\phi [/mm] $
Jetzt bist du auf dem richtigen Weg. Für die x-Komponente fügst du ein [mm] r\cos\phi [/mm] ein, für die y-Komponente später ein [mm] r\sin\phi [/mm] . Das mußt du aber noch duch die Fläche teilen:
[mm] $x_s=\frac{\integral_{0}^{\pi}\integral^{2}_{1-\cos(\phi)} \cos\phi r^2\, dr d\phi}{A} [/mm] $
Sicher, da taucht letztendlich sogar ein [mm] \cos^4\phi [/mm] auf, aber das kannst du mit ner Formelsammlung lösen.
Generell kann man diese Dinger aber mit der Produktregel berechnen:
[mm] $\int \cos \cos=[\cos \sin] -\int \sin \cos$
[/mm]
Der rechte Teil wird wieder mit der Produktregel behandelt, und dann führt das auf sowas wie
[mm] $\int \cos \cos=[\cos \sin] +[...]-\int \cos \cos$
[/mm]
[mm] $2*\int \cos \cos=[\cos \sin] [/mm] +[...]$
[mm] $\int \cos \cos=\frac{[\cos \sin] +[...]}{2}$
[/mm]
Höhere Potenzen löst man dann rekursiv, also [mm] \int\cos^3 [/mm] führt man auf [mm] [...]+\int\cos^2 [/mm] zurück etc.
Das wird allerdings länglich und fehleranfällig, ich würd da einfach nachschlagen.
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ja vielen dank für die fixe antwort...hab mir die aufleitungen vom [mm] $cos^n$ [/mm] aus dem netzt geholt allerdings is der ganze ausdruck dennoch ewig lang geworden...is das normal oder gibt es da noch nen trick mit dem zaunpfahl?
hab für [mm] $x_{s}=-\bruch{1}{2}$
[/mm]
schaut recht realistisch aus...werd mich jetzt ma an die y koordinate machen...
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Hallo!
Ich sehe da ehrlich gesagt keine kürzere Lösung für.
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ohje da geht es wieder los, das stechen in der großhirnrinde...
bei der berechnung des schwerpunkts in y richtung entsteht folgender ausdruck
[mm] $y_s=\bruch{4}{15\pi}\integral_{0}^{\pi} sin(\phi)(-cos^3(\phi)-3cos^2(\phi)-3cos(\phi)+7)\, d\phi$
[/mm]
das kann doch nich sein, dass man nun jeden einzelnen term via partieller integration bearbeitet ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") das wird doch nie was...oder kann man was geschickt umschreiben???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Mo 19.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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