Schwerpunkt Kx < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben sei die Funktion [mm] f(x)=\wurzel{sin(\bruch{1}{4}x)} [/mm] für x [mm] \varepsilon (0,4\pi). [/mm] Durch Rotation um die x-Achse entstehe der Rotationskörper Kx. Geben Sie die Koordinaten des Schwerpunktes von Kx an. |
Hallo,
Formeln:
[mm] x_{s}= \bruch{\pi}{Vx}* \integral_{a}^{b}{x*f^2(x) dx}
[/mm]
Vx= [mm] \pi \integral_{a}^{b}{f^2(x) dx}
[/mm]
Zuerst habe ich Vx ausgerechnet.
[mm] f^2(x)= sin(\bruch{1}{4}x)
[/mm]
Vx= [mm] \pi \integral_{0}^{4\pi}{sin(\bruch{1}{4}x) dx}
[/mm]
Vx= [mm] \pi [/mm] *( [mm] -4cos(\bruch{1}{4}x) [/mm] )
Vx = [mm] \pi [/mm] *8
[mm] x_{s}= \bruch{\pi}{\pi *8}* \integral_{0}^{4\pi}{ sinx (\bruch{1}{4}x) dx}
[/mm]
Hier habe ich mit Partielle Integration weitergerechnet.
[mm] \integral_{0}^{4\pi}{ sinx (\bruch{1}{4}x) dx}
[/mm]
f´(x)= sinx
f(x)= -cosx
g(x)= [mm] \bruch{1}{4}x
[/mm]
g´(x)= [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{4\pi}{ sinx (\bruch{1}{4}x) dx}
[/mm]
= -cosx( [mm] (\bruch{1}{4}x) [/mm] - [mm] \integral_{0}^{4\pi}{ -cosx \bruch{1}{4} dx}
[/mm]
= [mm] -cosx(\bruch{1}{4}x) [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}sinx
[/mm]
Stimmt das so bis hier?
LG
Schlumpf
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Do 22.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die Funktion [mm]f(x)=\wurzel{sin(\bruch{1}{4}x)}[/mm]
> für x [mm]\varepsilon (0,4\pi).[/mm] Durch Rotation um die x-Achse
> entstehe der Rotationskörper Kx. Geben Sie die Koordinaten
> des Schwerpunktes von Kx an.
> Hallo,
>
> Formeln:
> [mm]x_{s}= \bruch{\pi}{Vx}* \integral_{a}^{b}{x*f^2(x) dx}[/mm]
>
> Vx= [mm]\pi \integral_{a}^{b}{f^2(x) dx}[/mm]
>
> Zuerst habe ich Vx ausgerechnet.
> [mm]f^2(x)= sin(\bruch{1}{4}x)[/mm]
>
> Vx= [mm]\pi \integral_{0}^{4\pi}{sin(\bruch{1}{4}x) dx}[/mm]
> Vx=
> [mm]\pi[/mm] *( [mm]-4cos(\bruch{1}{4}x)[/mm] )
Du bist ein schlampiger Schlumpf ! Korrekt lautet das:
[mm] V_x=[\pi*(-4cos(\bruch{1}{4}x)]_0^{4 \pi}
[/mm]
> Vx = [mm]\pi[/mm] *8
Das stimmt.
>
> [mm]x_{s}= \bruch{\pi}{\pi *8}* \integral_{0}^{4\pi}{ sinx (\bruch{1}{4}x) dx}[/mm]
Hier bist Du wieder Deiner Schlampigkeit zum Opfer gefallen. Korrekt ist:
[mm]x_{s}= \bruch{\pi}{\pi *8}* \integral_{0}^{4\pi}{ x*sin(\bruch{1}{4}x) dx}[/mm]
Es ist zwar nur Pi-pi - (oder Pippi-) fax, aber es gilt
[mm] \bruch{\pi}{\pi *8}=\bruch{1}{8}
[/mm]
>
> Hier habe ich mit Partielle Integration weitergerechnet.
>
> [mm]\integral_{0}^{4\pi}{ sinx (\bruch{1}{4}x) dx}[/mm]
>
> f´(x)= sinx
> f(x)= -cosx
> g(x)= [mm]\bruch{1}{4}x[/mm]
> g´(x)= [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{4\pi}{ sinx (\bruch{1}{4}x) dx}[/mm]
> = -cosx(
> [mm](\bruch{1}{4}x)[/mm] - [mm]\integral_{0}^{4\pi}{ -cosx \bruch{1}{4} dx}[/mm]
>
> = [mm]-cosx(\bruch{1}{4}x)[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}sinx[/mm]
>
> Stimmt das so bis hier?
Nein. Siehe oben.
FRED
>
> LG
> Schlumpf
>
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Hi Fred,
Danke für deine Komplimente :D
ist x*sin(1/4x)
nicht das selbe wie sinx(1/4x) ???
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Meinst du so:
[mm] \integral_{0}^{4\pi}{x*sin(\bruch{1}{4}x) dx}
[/mm]
f´(x)= x
f(x)= [mm] \bruch{1}{2}x^2
[/mm]
g(x)= [mm] sin(\bruch{1}{4}x)
[/mm]
g´(x)= [mm] \bruch{1}{4}*cos(\bruch{1}{4}x)
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{4\pi}{x*sin(\bruch{1}{4}x) dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}x^2* sin(\bruch{1}{4}x) [/mm] - [mm] \integral_{0}^{4\pi} \bruch{1}{2}x^2* \bruch{1}{4}*cos(\bruch{1}{4}x)dx
[/mm]
Da habe ich doch rechts noch eine Partielle Integration? Geht das so unendlich weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Do 22.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Meinst du so:
>
> [mm]\integral_{0}^{4\pi}{x*sin(\bruch{1}{4}x) dx}[/mm]
>
> f´(x)= x
> f(x)= [mm]\bruch{1}{2}x^2[/mm]
> g(x)= [mm]sin(\bruch{1}{4}x)[/mm]
> g´(x)= [mm]\bruch{1}{4}*cos(\bruch{1}{4}x)[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{4\pi}{x*sin(\bruch{1}{4}x) dx}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{2}x^2* sin(\bruch{1}{4}x)[/mm] - [mm]\integral_{0}^{4\pi} \bruch{1}{2}x^2* \bruch{1}{4}*cos(\bruch{1}{4}x)dx[/mm]
>
> Da habe ich doch rechts noch eine Partielle Integration?
> Geht das so unendlich weiter?
Deine Wahl von f und g war ungünstig.
Wähle g(x)=x und f'(x)= $ [mm] sin(\bruch{1}{4}x) [/mm] $
FRED
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Und warum ist der ungünstig, wie sollte ich es denn auswählen damit ich es beim nächsten mal richtig habe..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Do 22.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Und warum ist der ungünstig,
Das hast Du doch selbst gesehen !
> wie sollte ich es denn
> auswählen damit ich es beim nächsten mal richtig habe..
Das habe ich Dir doch gesagt !!!
Für $ [mm] \integral_{0}^{4\pi}{x\cdot{}sin(\bruch{1}{4}x) dx} [/mm] $
wähle g(x)=x und f'(x)= $ [mm] sin(\bruch{1}{4}x) [/mm] $
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 Do 22.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hi Fred,
>
> Danke für deine Komplimente :D
> ist x*sin(1/4x)
> nicht das selbe wie sinx(1/4x) ???
Au Backe !
[mm] x*sin(\bruch{1}{4}x) \ne \bruch{1}{4}x*sin(x)
[/mm]
Wenn [mm] x*sin(\bruch{1}{4}x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}x*sin(x) [/mm] für jedes x wäre, so auch für x [mm] \ne [/mm] 0 und wir hätten
[mm] sin(\bruch{1}{4}x) =\bruch{1}{4}*sin(x), [/mm] also
$4* [mm] sin(\bruch{1}{4}x)=sin(x)$
[/mm]
Für $x=2 [mm] \pi$ [/mm] liefert das
4=0,
und die Schlümpfe haben die Mathematik neu erfunden !
FRED
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