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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Di 16.11.2010 | | Autor: | bluer |
| Aufgabe | | Berechnen Sie u.a. den Schwerpunkt von: [mm] $A:=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2 = r^2, z_1 \leq z \leq z_2\}\subseteq rS_2$ [/mm] |
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Hallo,
ich muss einige Eigenschaften von einer Kugelzone nachweisen. Den Oberflächeninhalt habe ich schon bestimmt mit [mm]O_{KZ} = 2\pi rh[/mm] mit [mm]h=z_2-z_1, z_2\geq z_1[/mm]. [mm]z_2,z_1[/mm] geben die Höhen der Schnittkreise an, die die Kugelzone begrenzen. Für den Schwerpunkt habe ich nun folgende Formel: [mm] z_s = \frac{1}{\operatorname{vol}_2 A} \int\limits_A z \operatorname{d}S(x)[/mm] Ich muss ja aus Symmetriegründen nur den die Z-Koordinate des Schwerpunkt bestimmen, da die anderen beiden jeweils 0 sind. Ich erhalte nun folgendes Integral: [mm] $\frac{1}{2\pi rh} \int\limits_A z\operatorname{d} [/mm] S(x) = [mm] \frac{1}{2\pi rh} \int\limits_0^{2\pi } \int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} \int\limits_?^? r^2\sin \varphi [/mm] z [mm] \operatorname{d} [/mm] z [mm] \operatorname{d} \varphi \operatorname{d} \mu$ [/mm] Folgende Notationen sind noch wichtig: [mm] $\cos \varphi_1 [/mm] = [mm] \frac{z_1}{r}$ [/mm] und [mm] $\cos \varphi_2 [/mm] = [mm] \frac{z_2}{r}$ [/mm] Meiner Meinung nach müsste [mm] $\frac{h}{2}$ [/mm] rauskommen, ich komme nur leider nicht auf dieses Ergebnis. Die Kugel habe ich übrigends wie folgt parametrisiert:
[mm] $\phi(\varphi ,\mu) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} r\sin \varphi \cos \mu \\ r\sin \varphi \sin \mu \\ r\cos \varphi \end{pmatrix}$. [/mm] Welche Grenzen muss ich für $z$ einsetzen? Habe ich da Integral überhaupt richtig aufgestellt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Di 16.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du integrierst doch über ne Fläche, und nicht über ein Volumen, hast also nur ein 2fach Integral, und in Kugelkoordinaten kein z sondern nur die 2 Winkelkoordinaten, da r fest ist. Wie hast du denn die Fläche ausgerechnet?
da musst du doch das Integral entsprechend haben, bis auf den Faktor [mm] z=rcos\phi?
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Di 16.11.2010 | | Autor: | bluer |
Das ist mir auch schon aufgefallen. Habe jetzt für [mm] $z:=r\cos \varphi$ [/mm] eingesetzt und komme für den Schwerpunkt nun auf: [mm] $\frac{1}{4\pi hr} \int\limits_0^{2\pi }\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} r^3\sin 2\varphi \operatorname{d} \varphi \operatorname{d} \mu [/mm] = [mm] \frac{z_2+z_1}{8}$ [/mm] kann das stimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Di 16.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das Integral ist jetzt richtig, aber ich seh das ergebnis nicht direkt.
wie kommst du von den [mm] 2\phi [/mm] wieder zu z
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 16.11.2010 | | Autor: | bluer |
Habe meinen Fehler jetzt entdeckt. Komme nun auf [mm] $\frac{z_2+z_1}{2}$. [/mm] Zur Erläuterung: Es gilt [mm] $4r_1^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm] + [mm] r^2 [/mm] - [mm] 2rr\cos 2\varphi_1$ [/mm] und [mm] $r_1^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm] - [mm] z_1^2$ [/mm] daraus folgt [mm] $\cos 2\varphi_1 [/mm] = [mm] \frac{-2r^2 + 4z_1^2}{2r^2}$ [/mm] analog: [mm] $\cos 2\varphi_2 [/mm] = [mm] \frac{-2r^2 + 4z_2^2}{2r^2}$ [/mm] und somit: [mm] $z_s [/mm] = [mm] \frac{r^2}{4h} \cdot \left( \frac{-2r^2 + 4z_2^2}{2r^2} - \frac{-2r^2 + 4z_1^2}{2r^2} \right) [/mm] = [mm] \frac{z_2 + z_1}{2}$.
[/mm]
Ist doch jetzt alles richtig oder?!
Vielen Dank für die Hilfe!
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