Schwerpunkt Berechnung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen sie den geometrischen schwerpunkt der menge [mm] M=\{(x,y,z):x^2+y^2 \le 1, y \ge x\} [/mm] |
also halbkreis mit radius 1 geschnitten von der 1. winkelhalbierenden => flächeninhalt ist [mm] 0.5\pi
[/mm]
parametrisiert: [mm] x(r,\phi)=\vektor{rcos\phi \\ rsin\phi}
[/mm]
wobei [mm] 0\le r\le [/mm] 1 und [mm] \bruch{1}{4}\pi \le \phi \le \bruch{5}{4} \pi
[/mm]
ok denke eigentlich das stimmt soweit.
also berechne ich dann [mm] s_{x}=1/A*\integral_{0}^{1}\integral_{\bruch{1}{4}\phi}^{\bruch{5}{4}\phi}{rcos\phi d\phi}dr
[/mm]
da kommt raus [mm] -\bruch{2}{\wurzel{2}\pi}
[/mm]
ich habs jetzt 3 mal nachgerechnet und ein freund hat das selbe. in der lösung ist aber [mm] -\bruch{2\wurzel{2}}{3\pi} [/mm] angegeben.
ist da irgentwo ein denkfehler? weil die integralrechung dürfte wohl stimmen, oder ist einfach nur die lösung falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Do 31.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Berechnen sie den geometrischen schwerpunkt der menge
> [mm]M={(x,y,z):x^2+y^2 \le 1, y \ge x}[/mm]
> also halbkreis mit
> radius 1 geschnitten von der 1. winkelhalbierenden =>
> flächeninhalt ist [mm]0.5\pi[/mm]
>
> parametrisiert: [mm]x(r,\phi)=\vektor{rcos\phi \\ rsin\phi}[/mm]
>
> wobei [mm]0\le r\le[/mm] 1 und [mm]\bruch{1}{4}\pi \le \phi \le \bruch{5}{4} \pi[/mm]
>
> ok denke eigentlich das stimmt soweit.
>
> also berechne ich dann
> [mm]s_{x}=1/A*\integral_{0}^{1}\integral_{\bruch{1}{4}\phi}^{\bruch{5}{4}\phi}{rcos\phi d\phi}dr[/mm]
>
> da kommt raus [mm]-\bruch{2}{\wurzel{2}\pi}[/mm]
>
> ich habs jetzt 3 mal nachgerechnet und ein freund hat das
> selbe. in der lösung ist aber [mm]-\bruch{2\wurzel{2}}{3\pi}[/mm]
> angegeben.
>
> ist da irgentwo ein denkfehler? weil die integralrechung
> dürfte wohl stimmen, oder ist einfach nur die lösung
> falsch?
Weiß ich auch nicht, ich habe nur einen kleinen Tipp zur Arbeitserleichterung. Da es um den Schwerpunkt eines Halbkreises geht, ist dessen konkrete Lage erst mal zweitrangig.
Nimm doch als Halbkreisfläche erst einmal den Halbkreis im 1. und 2. Quadranten. Den erhaltenen Schwerpunkt musst du nur noch um 45° drehen.
Gruß Abakus
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ok danke erstmal.
problem ist das es mir eher um den richtigen weg ging, wenn die fläche nicht symetrisch ist und man den sp halt "per hand" ausrechnen muss, desshlab wollt ich halt wissen wo bei mir der fehler ist, um es dann in anderen aufgaben richtig zu machen ;)
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> Berechnen sie den geometrischen schwerpunkt der menge
> [mm]M=\{(x,y,z):x^2+y^2 \le 1, y \ge x\}[/mm]
> also halbkreis mit
> radius 1 geschnitten von der 1. winkelhalbierenden =>
> flächeninhalt ist [mm]0.5\pi[/mm]
>
> parametrisiert: [mm]x(r,\phi)=\vektor{rcos\phi \\ rsin\phi}[/mm]
>
> wobei [mm]0\le r\le[/mm] 1 und [mm]\bruch{1}{4}\pi \le \phi \le \bruch{5}{4} \pi[/mm]
>
> ok denke eigentlich das stimmt soweit.
>
> also berechne ich dann
> [mm]s_{x}=1/A*\integral_{0}^{1}\integral_{\bruch{1}{4}\phi}^{\bruch{5}{4}\phi}{rcos\phi d\phi}dr[/mm]
>
> da kommt raus [mm]-\bruch{2}{\wurzel{2}\pi}[/mm]
>
> ich habs jetzt 3 mal nachgerechnet und ein freund hat das
> selbe. in der lösung ist aber [mm]-\bruch{2\wurzel{2}}{3\pi}[/mm]
> angegeben.
>
> ist da irgentwo ein denkfehler? weil die integralrechung
> dürfte wohl stimmen, oder ist einfach nur die lösung
> falsch?
>
Hallo,
Ihr habt bei der Substitution das Flächenelement dA nicht richtig ersetzt.
Wenn Ihr habt
[mm] x(r,\varphi)=rcos\varphi
[/mm]
[mm] y(r,\varphi)=rsin\varphi,
[/mm]
dann wird aus dxdy nicht einfach [mm] drd\varphi, [/mm] sondern man muß noch mit der Determinante der Jakobimatrix multiplizieren, also mit [mm] det\pmat{ cos\varphi & -rsin\varphi \\ sin\varphi & rcos\varphi }= [/mm] r. (Stichwort: Transformationsformel )
Damit wäre dann [mm] s_{x}=1/A*\integral_{0}^{1}\integral_{\bruch{1}{4}\phi}^{\bruch{5}{4}\phi}{r^{\red{2}}cos\phi d\phi}dr[/mm] [/mm] zu berechnen.
Landet Ihr damit bei der gewünschten Lösung?
Gruß v. Angela
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echt ein peinlicher fehler... danke dir ;)
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