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Hallo. Ich habe mal eine dringende Frage.
Das berechnen von einfachen Flächen wie z.B. Rechteck, Dreieck usw. fällt mir mittlerweile sehr leicht. Jetzt wollte ich aber mal wissen, wie ich denn z.B. den Schwerpunkt eines Halbkreises über die Integration berechnen kann. Geht das nicht irgendwie über das Doppelintegral???
MFG domenigge135
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> Jetzt
> wollte ich aber mal wissen, wie ich denn z.B. den
> Schwerpunkt eines Halbkreises über die Integration
> berechnen kann. Geht das nicht irgendwie über das
> Doppelintegral???
Hallo,
den Flächenschwerpunkt berechnet man ![[]](/images/popup.gif) so,
das sind also Flächenintegrale.
Gruß v. Angela
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Okay. Vielleicht kann ich das ja sogar auf Streckenlasten übertragen.
Mein Problem ist nun allerdings folgendes. Nehmen wir mal ein einfaches Beispiel wie ein Quadrat. Ich weiß ja, dass das Quadrat sein Schwerpunkt im Mittelpunkt haben. Also dort wo sich die Seitenhalbierenden schneiden.
Machen wir das nun einmal über Integration, indem wir den Schwerpunkt auf der x- Achse suchen, also [mm] x_s=\bruch{1}{A}\integral^{}_{A}xdA
[/mm]
Die Fläche eines Quadrates berechnet sich aus [mm] A=a^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_s=\bruch{1}{a^2}\integral^{}_{a^2}xda^2
[/mm]
Aber irgendwie bin ich der Meinung ein solches Integral noch nie berechnet zu haben.
Kannst du mir weiterhelfen???
MFG domenigge135
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Hi!
> Okay. Vielleicht kann ich das ja sogar auf Streckenlasten
> übertragen.
>
> Mein Problem ist nun allerdings folgendes. Nehmen wir mal
> ein einfaches Beispiel wie ein Quadrat. Ich weiß ja, dass
> das Quadrat sein Schwerpunkt im Mittelpunkt haben. Also
> dort wo sich die Seitenhalbierenden schneiden.
>
> Machen wir das nun einmal über Integration, indem wir den
> Schwerpunkt auf der x- Achse suchen, also
> [mm]x_s=\bruch{1}{A}\integral^{}_{A}xdA[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Die Fläche eines Quadrates berechnet sich aus [mm]A=a^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_s=\bruch{1}{a^2}\integral^{}_{a^2}xda^2[/mm]
>
So würde ich das jetzt nicht mehr aufschreiben. Du integrierst ja über das Gebiet A und nicht über den Flächeninhalt [mm] a^2.
[/mm]
[mm] $x_s=\bruch{1}{a^2}\integral^{}_{A}xdA [/mm] = [mm] \bruch{1}{a^2}\integral^{a}_{0} \integral_{0}^{a}x [/mm] dxdy = [mm] \bruch{1}{a^2}\integral^{a}_{0} \frac{1}{2}x^2 \left|\limits^{x=a}_{x=0} dy = ... = \frac{a}{2}$
> Aber irgendwie bin ich der Meinung ein solches Integral
> noch nie berechnet zu haben.
Es ist ein zweidimensionales Integral der Funktion f(x,y)=x und über dem Gebiet A := {(x,y) \in \IR^2 | 0 \le x,y \le a}
>
> Kannst du mir weiterhelfen???
>
> MFG domenigge135
>
>
Grüße Patrick
[/mm]
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Okay. Das Problem ist nur, dass ich bisher noch nicht mit Doppelintegralen gerechnet habe und zu Flächenintegralen im Internet nur sehr Komplexe Beispiele finde, die ich auf Anhieb nicht verstehen kann. Könntest du mir die Berechnung eines Doppelintegrals genauer erklären und eventuell auch, wie du das meinst, dass ich über das Gebiet A integriere (woher weiß ich, dass oder muss ich wissen, dass [mm] x_s=\bruch{1}{a^2}\integral^{}_{a^2}xda^2 [/mm] gegen [mm] x_s=\bruch{1}{a^2}\integral^{}_{A}xdA [/mm] ersetzt werden sollte???
MFG domenige135
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> Okay. Das Problem ist nur, dass ich bisher noch nicht mit
> Doppelintegralen gerechnet habe
Hallo,
ich will versuchen, Dir an dem einfachen Beispiel ein bißchen zu zeigen, wie man das macht. Vorlesung bzw, Bücher werde ich nicht ersetzen können - und ich will's auch nicht.
Du weißt also, wie man den Schwerpunkt einer Fläche berechnet [mm] (x_s=\frac{1}{A}\int_A [/mm] x dA, [mm] y_s=\frac{1}{A}\int_A [/mm] y dA), und Du möchtest das jetzt für ein Quadrat der Seitenlänge a tun, also für die folgende Fläche A:
[mm] A:=\{(x,y)| 0\le x\le a, 0\le y\le a\}. [/mm]
Das [mm] \frac{1}{A} [/mm] oben steht für den Kehrwert des Flächeninhaltes, den kennen wir ja schon(, man kann ihn aber spaßeshalber auch mal mit [mm] A=\int_A [/mm] 1 dA ausrechnen).
Das dA steht für ein (winziges) Flächenelement der Fläche A. Wir können es, wenn wir in kartesischen Koordinaten rechnen, durch dxdy ersetzen. Gleichzeitig wird das Flächenintegral zu einem doppelten "normalen" Integral, die Grenzen sind so zu setzen, daß man ganz A überstreicht:
Es ist mit dieser "Gebrauchsanweisung" [mm] x_s=\frac{1}{A}\int_A [/mm] x [mm] dA=\bruch{1}{a^2}\integral_{...}^{...}( \integral_{...}^{...} [/mm] x dx )dy,
Da man zuerst nach x integriert, bekommt das innere Integral "x-Grenzen", das äußere "y-Grenzen":
[mm] ....=\bruch{1}{a^2}\integral_{y=0}^{a}( \integral_{x=0}^{a} [/mm] x dx )dy
Die runde Klammer steht meist nicht da, man muß wissen, daß man sich beim Integrieren von innen nach außen vorarbeitet, und man muß die Grenzen entsprechend setzen.
Versuch das jetzt mal auszurechen, danach [mm] y_s [/mm] völlig analog, und dann kannst Du ja auch mal schauen, ob Du mit [mm] \int_A [/mm] 1 dA wirklich die Fläche des Quadrates bekommst.
Deine Ursprungsfrage war ja die nach dem schwerpunkt des Halbkreises.
Vielleicht solltest Du zuvor mal mit einem Flächenintegral die Fläche eines Halbkreises mit dem Radius 5 berechnen.
K:={(x,y)| [mm] x^2+y^2=25, y\ge 0\} [/mm] (Halbkreis oberhalb der x-Achse) , und wir suchen [mm] \integral_{K}1dA.
[/mm]
Wenn wir jetzt in kartesischen Koordinaten arbeiten, bekommen wir [mm] \integral_{K}1dA=\integral_{...}^{...}(\integral_{...}^{...}1dx)dy.
[/mm]
Das Schwierige ist nun das Finden der Grenzen. Im Gegensatz zum Quadrat ist hier das x ja nicht unabhängig vom y, sondern über die Gleichung [mm] x^2+y^2=25 [/mm] miteinander verquickt. Bei Flächenintegralen hilft eine Skizze sehr - nein, solange man nicht sehr geübt ist, ist sie notwendig.
Schau Dir Deinen Halbkreis an. Da zunächst über x integriert wird, müssen wir schauen, welchen Bereich wir in der waagerechten für gegebenes y jeweils überstreichen.
Ergebnis: unser x läuft zwischen [mm] -\wurzel{25-y^2} [/mm] und [mm] \wurzel{25-y^2}, [/mm] also
[mm] ...=\integral_{...}^{...}(\integral_{ -\wurzel{25-y^2}}^{ \wurzel{25-y^2}}1dx)dy, [/mm]
und unser y läuft unterdessen zwischen 0 und 1, also
[mm] ...=\integral_{0}^{1}(\integral_{ -\wurzel{25-y^2}}^{ \wurzel{25-y^2}}1dx)dy.
[/mm]
Damit hast du dann die Fläche das Halbkreises, wenn alles gut läuft.
Als nächstes könntest Du jetzt den Schwerpunkt des Halbkreises berechnen.
(Eine kleine Anmerkung noch: die Kreisfläche würde man normalerweise natürlich in Polarkoordinaten rechnen. Ich habe das absichtlich nicht gemacht, um nicht gleich zusätzliche Verwirrung zu stiften - um den Preis, daß das Integral so jetzt schwieriger ist.)
Gruß v. Angela
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