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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Di 07.10.2008 | | Autor: | Aurelie |
| Aufgabe | Schwarzsches Spiegelungsprinzip
Sei $G [mm] \subset \IC$ [/mm] ein zur reellen Achse symmetrisches Gebiet mit [mm] $G=B\cup I\cup \overline{B}$, [/mm] wobei B={z [mm] \in [/mm] G | Im(z) > 0}, [mm] $\overline{B}=$ [/mm] {z [mm] \in [/mm] G | Im(z)<0}, I={z [mm] \in [/mm] G | Im(z) = 0}. Auf [mm] $B\cup [/mm] I$ sei eine stetige Funktion f gegeben, die auf B holomorph und auf I reellwertig ist.
Dann lässt sich f durch
[mm] \hat{f}(z) [/mm] := [mm] \begin{cases} f(z), & \mbox{für } z \in B\cup I \\ \overline{f(\overline{z})} & \mbox{für } z \in \overline{B} \end{cases}
[/mm]
holomorph auf G fortsetzen. |
Zum Beweis:
Zuerst zeigt man das [mm] \hat{f} [/mm] stetig auf G ist.
Jetzt zeigt man das für alle abgeschlossenen Dreiecke [mm] \Delta \subset [/mm] G gilt:
[mm] \integral_{\partial\Delta}{ \hat{f(z)} dz} [/mm] = 0 denn dann golgt mit dem Satz von Morera das f in G holomorph.
In meinem Skript steht zu diesem Schritt:
[mm] \Delta \subset [/mm] B oder [mm] \Delta \subset \overline{B}:
[/mm]
Für [mm] \epsilon [/mm] > 0:
[mm] G_{\epsilon}:= [/mm] {z [mm] \in [/mm] G | [mm] -\epsilon [/mm] < Im(z) < [mm] \epsilon}
[/mm]
[mm] \int_{\partial \Delta}\hat{f}(z)dz [/mm] = [mm] \int_{\partial (\Delta \cap G_\epsilon)}\hat{f}(z)dz
[/mm]
[mm] \Rightarrow \forall \epsilon [/mm] > 0 : [mm] \vmat{ \int_{\partial \Delta}\hat{f}(z)dz} \le \vmat{\int_{\partial (\Delta \cap G_\epsilon)}\hat{f}(z) dz} \underbrace{\rightarrow}_{\epsilon \downarrow 0} [/mm] 0
Das versteh ich im Einzelnen nicht mehr. Könnte mir das bitte jemand erläutern?
Danke und Gruß,
Aurelie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:09 Mi 08.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Aurelie!
> Schwarzsches Spiegelungsprinzip
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> Sei [mm]G \subset \IC[/mm] ein zur reellen Achse symmetrisches
> Gebiet mit [mm]G=B\cup I\cup \overline{B}[/mm], wobei [mm]B=\{z \in[G | Im(z) > 0\}[/mm],
> [mm]\overline{B}=\{z \in G | Im(z)<0\}[/mm], [mm]I=\{z \in G | Im(z) = 0\}[/mm].
> Auf [mm]B\cup I[/mm] sei eine stetige Funktion f
> gegeben, die auf B holomorph und auf I reellwertig ist.
> Dann lässt sich f durch
>
> [mm]\hat{f}(z)[/mm] := [mm]\begin{cases} f(z), & \mbox{für } z \in B\cup I \\ \overline{f(\overline{z})} & \mbox{für } z \in \overline{B} \end{cases}[/mm]
>
> holomorph auf G fortsetzen.
> Zum Beweis:
> Zuerst zeigt man das [mm]\hat{f}[/mm] stetig auf G ist.
> Jetzt zeigt man das für alle abgeschlossenen Dreiecke
> [mm]\Delta \subset[/mm] G gilt:
>
> [mm]\integral_{\partial\Delta}{ \hat{f(z)} dz}[/mm] = 0 denn dann
> golgt mit dem Satz von Morera das f in G holomorph.
>
> In meinem Skript steht zu diesem Schritt:
>
> [mm]\Delta \subset[/mm] B oder [mm]\Delta \subset \overline{B}:[/mm]
> Für [mm]\epsilon > 0:[/mm]
> [mm]G_{\epsilon}:=\{z \in G | -\epsilon < Im(z) < \epsilon\}[/mm]
>
> [mm]\int_{\partial \Delta}\hat{f}(z)dz = \int_{\partial (\Delta \cap G_\epsilon)}\hat{f}(z)dz[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \forall \epsilon > 0 : \vmat{ \int_{\partial \Delta}\hat{f}(z)dz} \le \vmat{\int_{\partial (\Delta \cap G_\epsilon)}\hat{f}(z) dz} \underbrace{\rightarrow}_{\epsilon \downarrow 0} 0 [/mm]
>
> Das versteh ich im Einzelnen nicht mehr. Könnte mir das
> bitte jemand erläutern?
Das ist auch sehr knapp aufgeschrieben. Zunächst einmal ist [mm] $\hat{f}$ [/mm] auf B und auf [mm] $\overline{B}$ [/mm] holomorph.
Der Trick besteht darin, das Integral über den Rand eines beliebigen abgeschlossenen Dreiecks zu zerlegen in ein Integral über eine Kurve in B, eines über eine Kurve in [mm] $\overline{B}$ [/mm] und "den Rest".
[mm] $G_{\epsilon}$ [/mm] ist doch ein Streifen der Dicke [mm] $2\epsilon$ [/mm] um die x-Achse in G. Für ein beliebiges Dreieck [mm] $\Delta$ [/mm] betrachtest du den Durchschnitt [mm] $\Delta \cap G_\epsilon$. [/mm] Dann hast du noch die Teile von [mm] $\Delta$, [/mm] die oberhalb bzw. unterhalb von [mm] $\Delta \cap G_\epsilon$ [/mm] liegen:
[mm] \Delta_1 = G\cap B \backslash (\Delta \cap G_\epsilon) \subset B [/mm]
[mm] \Delta_2 = G\cap \overline{B} \backslash (\Delta \cap G_\epsilon) \subset \overline{B} [/mm]
[mm] \Delta \cap G_\epsilon [/mm]
Da [mm] $\Delta [/mm] = [mm] \Delta_1 \cup (\Delta \cap G_\epsilon) \cup \Delta_2$ [/mm] ist, ist
[mm]\int\limits_{\partial \Delta}\hat{f}(z)dz = \int\limits_{\partial \Delta_1}\hat{f}(z)dz +
\int\limits_{\partial (\Delta \cap G_\epsilon)}\hat{f}(z)dz +
\int\limits_{\partial \Delta_2}\hat{f}(z)dz [/mm]
Da [mm] $\hat{f}$ [/mm] auf B und auf [mm] $\overline{B}$ [/mm] holomorph ist, sind das erste und das dritte Integral 0, also ist
[mm]\int\limits_{\partial \Delta}\hat{f}(z)dz = \int\limits_{\partial (\Delta \cap G_\epsilon)}\hat{f}(z)dz[/mm]
Dann betrachtest du den Grenzübergang [mm] $\epsilon\rightarrow0$, [/mm] in dem das rechte Integral wegen der Stetigkeit von [mm] $\hat{f}$ [/mm] gegen 0 geht:
[mm] \\left| \int\limits_{\partial \Delta}\hat{f}(z)dz\right|= \left|\int\limits_{\partial (\Delta \cap G_\epsilon)}\hat{f}(z) dz}\right|
\le \left|\int\limits_{\partial (\Delta \cap G_\epsilon)} |\hat{f}(z)| dz \right|\underbrace{\longrightarrow}_{\epsilon \downarrow 0} 0 [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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