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| Aufgabe | Der Anteil der Schwarzfahrer am gesamten Fahrgastaufkommen beträgt etwa 2,5%. Zwei Kontrolleure kontrollieren erst in der Linie 2 34 Fahrgäste und danach in der Linie 1 58.
a) Genaue Untersuchungen zeigen, dass der Schwarzfahreranteil auf den unterschiedlichen Linien stark differiert. In der Linie 2 fahren etwa 1% schwarz, in der Linie 1 sind es 4%.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den Kontrollen mindestens 2 Schwarzfahrer ertappt werden? Mit wie vielen Schwarzfahrern müssen die Kontrolleure rechnen? |
Hallo,
zu a) habe ich mir überlegt, dass ja insgesamt 2 Schwarzfahrer erwischt werden, wenn
- in Linie 2 keiner und Linie 1 mindestens 2 oder
- in Linie 2 einer und Linie 1 mindestens 1 oder
- in Linie 2 mindestens 2 und Linie 1 keiner oder mehr
ertappt werden.
Dann dachte ich mir aber, dass im ersten Fall ja eigentlich egal ist, wie viele in Linie 2 erwischt werden und dass es im zweiten Fall auch in der Linie 2 mehr als einer sein dürfen.
Mein Problem ist, dass ich mir nicht sicher bin, wie ich jetzt meine Teilwahrscheinlichkeiten zusammenrechnen soll, weil ich die erwischten Schwarzfahrer in den einzelnen Linien ja quasi mehrfach zähle... Sonst hätte ich
[mm] \summe_{i=0}^{34}\vektor{34 \\ i}*0,01^{i}*0,99^{34-i}*\summe_{i=2}^{58}\vektor{58\\i}*0,04^{i}*0,96^{58-i}
[/mm]
+ [mm] \summe_{i=1}^{34}\vektor{34 \\ i}*0,01^{i}*0,99^{34-i}*\summe_{i=1}^{58}\vektor{58\\i}*0,04^{i}*0,96^{58-i}
[/mm]
+ [mm] \summe_{i=2}^{34}\vektor{34 \\ i}*0,01^{i}*0,99^{34-i}*\summe_{i=0}^{58}\vektor{58\\i}*0,04^{i}*0,96^{58-i}
[/mm]
=0,9876
gerechnet. Stimmt das so?
Den Erwartungswert hätte ich für den allgemeinen Fall mit 92*0,025 ausgerechnet.
Vielen Dank für's Durchquälen! :)
Liebe Grüße
Claire
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Hallo,
> Der Anteil der Schwarzfahrer am gesamten Fahrgastaufkommen
> beträgt etwa 2,5%. Zwei Kontrolleure kontrollieren erst in
> der Linie 2 34 Fahrgäste und danach in der Linie 1 58.
>
> a) Genaue Untersuchungen zeigen, dass der
> Schwarzfahreranteil auf den unterschiedlichen Linien stark
> differiert. In der Linie 2 fahren etwa 1% schwarz, in der
> Linie 1 sind es 4%.
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den
> Kontrollen mindestens 2 Schwarzfahrer ertappt werden? Mit
> wie vielen Schwarzfahrern müssen die Kontrolleure
> rechnen?
> Hallo,
> zu a) habe ich mir überlegt, dass ja insgesamt 2
> Schwarzfahrer erwischt werden, wenn
> - in Linie 2 keiner und Linie 1 mindestens 2 oder
> - in Linie 2 einer und Linie 1 mindestens 1 oder
> - in Linie 2 mindestens 2 und Linie 1 keiner oder mehr
> ertappt werden.
> Dann dachte ich mir aber, dass im ersten Fall ja
> eigentlich egal ist, wie viele in Linie 2 erwischt werden
> und dass es im zweiten Fall auch in der Linie 2 mehr als
> einer sein dürfen.
> Mein Problem ist, dass ich mir nicht sicher bin, wie ich
> jetzt meine Teilwahrscheinlichkeiten zusammenrechnen soll,
> weil ich die erwischten Schwarzfahrer in den einzelnen
> Linien ja quasi mehrfach zähle... Sonst hätte ich
>
> [mm]\summe_{i=0}^{34}\vektor{34 \\ i}*0,01^{i}*0,99^{34-i}*\summe_{i=2}^{58}\vektor{58\\i}*0,04^{i}*0,96^{58-i}[/mm]
>
> + [mm]\summe_{i=1}^{34}\vektor{34 \\ i}*0,01^{i}*0,99^{34-i}*\summe_{i=1}^{58}\vektor{58\\i}*0,04^{i}*0,96^{58-i}[/mm]
>
> + [mm]\summe_{i=2}^{34}\vektor{34 \\ i}*0,01^{i}*0,99^{34-i}*\summe_{i=0}^{58}\vektor{58\\i}*0,04^{i}*0,96^{58-i}[/mm]
>
> =0,9876
>
> gerechnet. Stimmt das so?
Nein, hier zählst du eindeutig mehrfach. Versuchs doch im Zweifel mal mit der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignis, also höchstens ein Schwarzfahrer wird erwischt, das heißt entweder in beiden Linien wird keiner erwischt, in Linie 1 einer und in Linie 2 keiner oder in Linie 1 keiner und in Linie 2 einer, das sollte deutlich einfacher sein...
> Den Erwartungswert hätte ich für den allgemeinen Fall
> mit 92*0,025 ausgerechnet.
>
Das ist okay.
> Vielen Dank für's Durchquälen! :)
> Liebe Grüße
> Claire
Viele Grüße
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Ah, vielen Dank, auf die Idee mit der Gegenwahrscheinlichkeit hätte ich auch selbst kommen können...
Da käme dann für [mm] P(X\ge2) [/mm] 74,9% raus, das klingt plausibler. :)
Vielen Dank für deine Antwort!
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