Schwankung berechnen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:36 Mi 09.12.2015 | | Autor: | Boson |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Schwankung [mm] \Delta \hat{l}_x [/mm] für die Zustände |l,m>, die Eigenzustände von [mm] \hat{l}^2 [/mm] und [mm] \hat{l}_z [/mm] sind.
Stelle [mm] \hat{l}_x [/mm] mit Hilfe von [mm] \hat{l}_{\pm}=\hat{l}_x\pm i\hat{l}_y [/mm] dar.
Verwende [mm] \hat{l}_{\pm}|l,m>=\hbar\wurzel{l(l+1)-m(m\pm 1)}|l,m\pm [/mm] 1> |
Hallo, das ist vielleicht nur ein blöder Fehler, aber ich komm nicht drauf.
Mit [mm] \hat{l}_{\pm}=\hat{l}_x\pm i\hat{l}_y [/mm] folgt [mm] \hat{l}_{+}+\hat{l}_{-}=2\hat{l}_{x}\Rightarrow \hat{l}_x=\bruch{1}{2}(\hat{l}_+-\hat{l}_-)
[/mm]
[mm] \Delta \hat{l}_x=\wurzel{-()^2}
[/mm]
Man sieht schnell, dass [mm] =0, [/mm] wegen Orthogonalität der Eigenzustände.
[mm] \hat{l}_x^2=\bruch{1}{4}(\hat{l}_+^2-\hat{l}_+\hat{l}_--\hat{l}_-\hat{l}_++\hat{l}_-^2)
[/mm]
[mm] [/mm] und [mm] [/mm] ergeben 0
[mm] [/mm] und [mm] [/mm] ergeben jeweils [mm] \hbar\wurzel{l(l+1)-m(m+1)}*\hbar\wurzel{l(l+1)-m(m-1)}
[/mm]
daraus erggibt sich also
[mm] =\bruch{\hbar^2}{2}\wurzel{l(l+1)-m(m+1)}*\wurzel{l(l+1)-m(m-1)}
[/mm]
Jetzt habe ich gelesen, dass [mm] <\hat{l}_x^2>=\bruch{l}{2}\hbar^2 [/mm] ist.
Das würde ja bedeuten, dass [mm] \wurzel{l(l+1)-m(m+1)}*\wurzel{l(l+1)-m(m-1)}=l. [/mm] Leider komme ich da nicht drauf, wenn ich das ausmultipliziere. Mach ich da etwas falsch?
Vielen Dank für eure Hilfe!
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 11.12.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
