Schwaches Gesetz der großen Z < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Di 18.06.2013 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Seien [mm]X_1,...,X_n[/mm] i.i.d. Zufallsvariablen mit Verteilung
[mm]P(X_n=n)=\frac{1}{2n\ln(n+1)}=P(X_n=-n)[/mm]
und [mm]P(X_n=0)=1-\frac{1}{n\ln(n+1)}[/mm] für [mm]n\in\mathbb N[/mm].Zeigen Sie,
dass [mm]\lim_{m\to\infty}\frac{1}{m^2}\sum_{n=1}^{m}Var(X_n)=0[/mm] (und damit das WLLN gilt). |
Hallo zusammen,
ich weiß, dass man für die Lösung den Cauchyschen Verdichtungssatz anwenden muss:
Sei [mm](a_n)_n[/mm] eine monoton fallende Folge. Dann gilt:
[mm]\sum_{n=1}^{\infty}a_n \textrm{konvergiert} \gdw \sum_{n=0}^{\infty}a_{2^n}2^n[/mm] konvergiert
Habe dann damit gerechnet:
[mm]E(X_i)=0[/mm] und [mm]Var(X_n)=\frac{n}{ln(n+1)}[/mm]
Jetzt scheitere ich schon bei der Anwendung des C.VS.: [mm]\frac{n}{ln(n+1)}[/mm] ist doch nicht monoton fallend (geschweige denn Nullfolge...),
sondern streng monoton wachsend.
Selbst wenn, ist auch die Konvergenz von [mm]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{2n}}{ln(2^n+1)}[/mm] nicht klar...
Weiß jemand, wo mein Fehler liegt oder wie man es ansonsten machen könnte?
Viele Grüße,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:22 Mo 24.06.2013 | | Autor: | Fry |
Hat niemand eine Idee? :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Mo 24.06.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin Christian,
vielleicht missverstehe ich ja dein Problem aber
$ [mm] \frac{1}{m}\sum_{n=1}^{m}Var(X_n)$ [/mm]
ist doch das arithmetische Mittel der ersten $m$ Varianzen, also
[mm] $\frac{1}{m}\left(\frac{1}{\ln(2)}+\dots+\frac{m}{\ln(m+1}\right)=b_m$
[/mm]
Du musst anscheinend zeigen, dass [mm] $b_m/m$ [/mm] eine NuFo ist.
vg Luis
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