Schwache Konvergenz < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Di 24.02.2015 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | Sei U ein Hilbertraum, [mm] U_a \subset [/mm] U nichtleere, beschränkte, abgeschlossen, konvexe Teilmenge. Sei f: U [mm] \to \mathbb{R} [/mm] stetig und nach unten beschränkt.
Dann existiert min f(u) , u [mm] \in U_a [/mm] |
Hallo.
Zur obigen Aufgabe: was ich bislang habe und verstehe ist:
1.) Existenz einer Minimalfolge [mm] \{u_n\}_n \subset U_a [/mm] mit lim [mm] f(u_n) [/mm] = j.
2.) [mm] U_a [/mm] ist schwach folgenkompakt, dh. es gibt eine Teilfolge [mm] \{u_{n_k}\}_k [/mm] von [mm] \{u_n\}_n [/mm] und ein u* [mm] \in U_a [/mm] mit [mm] u_{n_k} \rightharpoonup [/mm] u* , k [mm] \to \infty
[/mm]
Meine Frage: warum ist es nun falsch zu folgern, dass [mm] f(u_{n_k}) \to [/mm] f(u*)? Das ist doch genau die Definition von schwacher Konvergenz, da f [mm] \in [/mm] U' (Dualraum)? Was übersehe ich?
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Di 24.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei U ein Hilbertraum, [mm]U_a \subset[/mm] U nichtleere,
> beschränkte, abgeschlossen, konvexe Teilmenge. Sei f: U
> [mm]\to \mathbb{R}[/mm] stetig und nach unten beschränkt.
> Dann existiert min f(u) , u [mm]\in U_a[/mm]
> Hallo.
>
> Zur obigen Aufgabe: was ich bislang habe und verstehe ist:
> 1.) Existenz einer Minimalfolge [mm]\{u_n\}_n \subset U_a[/mm] mit
> lim [mm]f(u_n)[/mm] = j.
Dann ist wohl
$j= [mm] \inf \{f(u): u \in U_a \}$.
[/mm]
Anders macht das keinen Sinn.
> 2.) [mm]U_a[/mm] ist schwach folgenkompakt, dh. es gibt eine
> Teilfolge [mm]\{u_{n_k}\}_k[/mm] von [mm]\{u_n\}_n[/mm] und ein u* [mm]\in U_a[/mm]
> mit [mm]u_{n_k} \rightharpoonup[/mm] u* , k [mm]\to \infty[/mm]
>
> Meine Frage: warum ist es nun falsch zu folgern, dass
> [mm]f(u_{n_k}) \to[/mm] f(u*)? Das ist doch genau die Definition von
> schwacher Konvergenz, da f [mm]\in[/mm] U' (Dualraum)? Was übersehe
> ich?
Du übersiehst nichts. Du "siehst" allerdings Dinge, die gar nicht gegeben sind !
f ist doch nicht als linear vorausgesetzt ! f muss also kein Element des topologischen Dualraumes sein !
FRED
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> Es wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte!
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Di 24.02.2015 | | Autor: | moerni |
Aaaaah, na klar!
Mensch, da hatte ich ein Brett vorm Kopf. Danke!
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