Schubfachprinzip < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Fr 18.04.2008 | | Autor: | DaSaver |
| Aufgabe | Ein Sportler trainiert 44 Tage lang, jeden Tag gibt es mindestens eine Trainingseinheit. Insgesamt macht er in diesen 44 Tagen 70 Trainingseinheiten.
Zeige, dass es ein Intervall gibt, in dem der Sportler genau 17 Mal trainiert (also dass es Zahlen [mm]i[/mm] und [mm]j[/mm] gibt derart, dass vom [mm]i[/mm]-ten Tag bis zum [mm]j[/mm]-ten Tag inklusive genau 17 Mal trainiert wird). |
Halihallo!
Die Aufgabe ist anscheinend mit Schubfachprinzip zu lösen, ich komme aber nicht drauf. Der Sportler kann die verbleibenden [mm]70-44=26[/mm] frei auf die 44 Tage verteilen. Aber wie komme ich von hier auf die Aufgabenstellung?..:-/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Sa 19.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ein Sportler trainiert 44 Tage lang, jeden Tag gibt es
> mindestens eine Trainingseinheit. Insgesamt macht er in
> diesen 44 Tagen 70 Trainingseinheiten.
>
> Zeige, dass es ein Intervall gibt, in dem der Sportler
> genau 17 Mal trainiert (also dass es Zahlen [mm][mm]i[/mm][/mm] und [mm][mm]j[/mm][/mm] gibt derart, dass vom [mm][mm]i[/mm]-ten[/mm] Tag bis zum [mm][mm]j[/mm]-ten[/mm] Tag inklusive genau 17 Mal trainiert wird).[/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm] Halihallo![/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm]Die Aufgabe ist anscheinend mit Schubfachprinzip zu lösen, ich komme aber nicht drauf. Der Sportler kann die verbleibenden [mm]70-44=26[/mm] frei auf die 44 Tage verteilen. Aber wie komme ich von hier auf die Aufgabenstellung?..:-/ [/mm][/mm][/mm][/mm]
Schau dir doch mal die Folgen [mm] $a_n \in \IN$ [/mm] an, $n [mm] \in \{ 1, 2, \dots, 44 \}$, [/mm] wobei [mm] $a_n$ [/mm] die Anzahl der Trainingseinheiten angibt, die bis einschliesslich dem $n$-ten Tag abgeleistet wurden. Setze [mm] $a_0 [/mm] := 0$. Du weisst [mm] $a_{n+1} [/mm] > [mm] a_n$ [/mm] fuer $n [mm] \in \{ 0, \dots, 43 \}$ [/mm] und [mm] $a_{44} [/mm] = 70$. Du suchst jetzt $n, m [mm] \in \{ 0, \dots, 44 \}$ [/mm] mit [mm] $a_m [/mm] - [mm] a_n [/mm] = 17$.
Um das Schubfachprinzip anzuwenden, musst du dir die Folge [mm] $a_n$ [/mm] wohl modulo 17 anschauen. Dann gibt es auch jeden Fall mehre $n, m$ so, dass [mm] $a_m [/mm] - [mm] a_n$ [/mm] durch 17 teilbar ist. Das ist schonmal ein Anfang, vielleicht kommst du damit weiter :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Sa 19.04.2008 | | Autor: | DaSaver |
> Schau dir doch mal die Folgen [mm]a_n \in \IN[/mm] an, [mm]n \in \{ 1, 2, \dots, 44 \}[/mm],
> wobei [mm]a_n[/mm] die Anzahl der Trainingseinheiten angibt, die bis
> einschliesslich dem [mm]n[/mm]-ten Tag abgeleistet wurden. Setze [mm]a_0 := 0[/mm].
> Du weisst [mm]a_{n+1} > a_n[/mm] fuer [mm]n \in \{ 0, \dots, 43 \}[/mm] und
> [mm]a_{44} = 70[/mm]. Du suchst jetzt [mm]n, m \in \{ 0, \dots, 44 \}[/mm]
> mit [mm]a_m - a_n = 17[/mm].
>
> Um das Schubfachprinzip anzuwenden, musst du dir die Folge
> [mm]a_n[/mm] wohl modulo 17 anschauen. Dann gibt es auch jeden Fall
> mehre [mm]n, m[/mm] so, dass [mm]a_m - a_n[/mm] durch 17 teilbar ist. Das ist
> schonmal ein Anfang, vielleicht kommst du damit weiter :)
>
> LG Felix
>
Ok, als "Schubfächer" nehme ich dann die Reste von [mm](a_n)[/mm] modulo 17. Dann gibt es in jedem "Schubfach" mind. [mm]floor(70/17)=4[/mm] Elemente, richtig? Jetzt nehme ich als "Schubfächer" Zahlen 17,34,51,68 und verteile diese 4*17=68 Elemente auf diese Fächer. Dann gibt es auf jeden Fall mind. 1 Element im 1. Fach. Stimmt es so oder habe ich hier Unfug gerechnet?:)
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 11:18 So 20.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ok, als "Schubfächer" nehme ich dann die Reste von [mm](a_n)[/mm]
> modulo 17. Dann gibt es in jedem "Schubfach" mind.
> [mm]floor(70/17)=4[/mm] Elemente, richtig?
Nein, gerade nicht! Das Schubfachprinzip sagt nur, dass es in jedem Fach mindestens ein Element gibt. Und wir wissen das die Summe der Anzahlen von Elementen in allen Faechern 70 ergibt.
> Jetzt nehme ich als
> "Schubfächer" Zahlen 17,34,51,68 und verteile diese 4*17=68
> Elemente auf diese Fächer.
Sorry, ich versteh grad nicht was du meinst.
LG Felix
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 12:00 So 20.04.2008 | | Autor: | anstei |
Hallo Felix,
> Hallo!
>
> > Ok, als "Schubfächer" nehme ich dann die Reste von [mm](a_n)[/mm]
> > modulo 17. Dann gibt es in jedem "Schubfach" mind.
> > [mm]floor(70/17)=4[/mm] Elemente, richtig?
>
> Nein, gerade nicht! Das Schubfachprinzip sagt nur, dass es
> in jedem Fach mindestens ein Element gibt. Und wir wissen
> das die Summe der Anzahlen von Elementen in allen Faechern
> 70 ergibt.
Nein, das Schubfachprinzip besagt, da 70 > 68 = 4*17, dass es mindestens ein Fach mit mindestens 5 Elementen drin hat. Und daraus lässt sich jetzt einfach ein vollständiger Beweis basteln :)
Viele Grüsse,
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 So 20.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > Ok, als "Schubfächer" nehme ich dann die Reste von [mm](a_n)[/mm]
> > modulo 17. Dann gibt es in jedem "Schubfach" mind.
> > [mm]floor(70/17)=4[/mm] Elemente, richtig?
>
> Nein, gerade nicht! Das Schubfachprinzip sagt nur, dass es
> in jedem Fach mindestens ein Element gibt. Und wir wissen
> das die Summe der Anzahlen von Elementen in allen Faechern
> 70 ergibt.
Tja, das ist auch falsch: es besagt nur, dass es mind. ein Fach gibt, in dem es > 1 Element gibt. Und wie Andreas gesagt hat, soger noch besser: es sagt, dass es in mind. einem Fach mind. 5 Elemente gibt. (Das kannst du zeigen mit der Annahme, dass es in jedem Fach weniger als 5 Elemente gibt, dann bekommst du schnell einen Widerspruch.)
Danke fuer den Hinweis Andreas :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 So 20.04.2008 | | Autor: | DaSaver |
Hallo!
ich hab es jetzt hinbekommen mit dem Beweis, danke nochmals für den Tipp!
Viele Grüße,
Michael
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