Schnittpunkte zweier Kugeln < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Mo 22.02.2010 | | Autor: | nicom88 |
Hallo, ich habe nur eine kurze Frage.
Und zwar habe ich die Schnittpunkte zweier Kreise berechnet und dort 2 y-Werte und 4 x-Werte heraus bekommen... Ist das Normal? und wenn ja... Welche nehme ich dann? Das Lösungsbuch hat sich für 2 Entschieden (diese waren bei den 4 Werten, die ich rausbekommen habe, dabei)
Danke =)
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> Hallo, ich habe nur eine kurze Frage.
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> Und zwar habe ich die Schnittpunkte zweier Kreise berechnet
> und dort 2 y-Werte und 4 x-Werte heraus bekommen... Ist das
> Normal? und wenn ja... Welche nehme ich dann? Das
> Lösungsbuch hat sich für 2 Entschieden (diese waren bei
> den 4 Werten, die ich rausbekommen habe, dabei)
>
> Danke =)
reden wir jetzt von kugeln oder kreisen? denke mal kreise.. da gibts entweder keine schnittpunkte, einen (sie berühren sich) oder 2. und da es sich dann um ZWEI schnittPUNKTE handelt, macht es sinn, dann auch nur 2 x- und dazu passend 2 y-werte zu erhalten
reche doch mal bitte vor!
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Mo 22.02.2010 | | Autor: | nicom88 |
Ok, also die Aufgabe Lautet
[mm] [x-\vektor{2 \\ 7}]^{2}=50 [/mm] || [mm] [x-\vektor{-6 \\ 1}]^{2}=50
[/mm]
Die beiden Parameterformen in die Koordinatenformen bringen und Additionsverfahren anwenden.
-> man erhält, wenn man nach y auflöst: [mm] y^{2}-8y=0 [/mm]
-> [mm] y_{1}=8 [/mm] und [mm] y_{2}=0
[/mm]
So, dies setzt man nun in eine der beiden Kreisgleichungen ein und löst nach x auf.
Je nachdem, welches y man genommen hat, bekommt man 2 lineare Gleichungen
[mm] x^{2}-4x-45=0 x_{1}=9 [/mm] / [mm] x_{2}=-5 [/mm]
und [mm] x^{2}-4x+3=0 x_{1}=3 [/mm] / [mm] x_{2}=1
[/mm]
Laut Lösungsbuch sind die Schnittpunkte [mm] S_{1} [/mm] (1/0) und [mm] S_{2} [/mm] (-5/8)
Wo ist der Fehler??
Könnt ihr mir noch bei etwas anderem Helfen?
7x+24y=100 wie bringe ich das in die Parameterform?
Dankeschön für Eure Mühen!
N
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Mo 22.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> Ok, also die Aufgabe Lautet
>
> [mm][x-\vektor{2 \\ 7}]^{2}=50[/mm] || [mm][x-\vektor{-6 \\ 1}]^{2}=50[/mm]
>
> Die beiden Parameterformen in die Koordinatenformen bringen
> und Additionsverfahren anwenden.
>
> -> man erhält, wenn man nach y auflöst: [mm]y^{2}-8y=0[/mm]
> -> [mm]y_{1}=8[/mm] und [mm]y_{2}=0[/mm]
>
> So, dies setzt man nun in eine der beiden Kreisgleichungen
> ein und löst nach x auf.
> Je nachdem, welches y man genommen hat, bekommt man 2
> lineare Gleichungen
> [mm]x^{2}-4x-45=0 x_{1}=9[/mm] / [mm]x_{2}=-5[/mm]
> und [mm]x^{2}-4x+3=0 x_{1}=3[/mm] / [mm]x_{2}=1[/mm]
>
> Laut Lösungsbuch sind die Schnittpunkte [mm]S_{1}[/mm] (1/0) und
> [mm]S_{2}[/mm] (-5/8)
>
> Wo ist der Fehler??
Ich fasse mal zusammen, bis wohin du gekommen bist:
(y=8 und (x=9 oder x=-5)) oder (y=0 und (x=3 oder x=1))
Dieses (richtige) Zwischenergebnis möchte ich mal mit (*) abkürzen.
Um zu (*) zu gelangen, hast du, so wie es leider viele Lehrer vormachen, folgendes getan: Anstatt systematisch mit Äquivalenzumformungen des Gleichungssystems der beiden Kreisgleichungen zu arbeiten, hast du aus den beiden Kreisgleichungen (*) gefolgert. Also hast du bewiesen: Wenn ein Punkt (x,y) Schnittpunkt der Kreise ist, so erfüllt er (*). Was du nicht gezeigt hast: Wenn ein Punkt (x,y) (*) erfüllt, ist er ein Schnittpunkt.
Und tatsächlich: Beide Schnittpunkte aus der Musterlösung erfüllen (*). Aber nicht alle Punkte, die (*) erfüllen, sind Schnittpunkte.
Was kannst du nun tun, um an die Schnittpunkte zu gelangen:
1. Möglichkeit: Teste alle vier Punkte, die (*) erfüllen, daraufhin, ob sie Schnittpunkte sind. D.h.: Setze sie in die BEIDEN Kreisgleichungen ein.
2. Möglichkeit: Mach konsequent Äquivalenzumformungen. Ist zwar etwas Schreibaufwand, aber dafür eine sichere Methode, ohne dass man für jede Art von Schnittpunktberechnungen eine neue Methode braucht. Ich mache dir mal eine Möglichkeit dazu vor:
(x,y) ist Schnittpunkt der beiden Kreise
[mm] $\gdw$ $[\vektor{x\\y}-\vektor{2 \\ 7}]^{2}=50 [/mm] $ und $ [mm] [\vektor{x\\y}-\vektor{-6 \\ 1}]^{2}=50 [/mm] $
[mm] $\gdw$ $(x-2)^2+(y-7)^2=50$ [/mm] und [mm] $(x+6)^2+(y-1)^2=50$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $x^2-4x+4+y^2-14y+49=50$ [/mm] und [mm] $x^2+12x+36+y^2-2y+1=50$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $x^2-4x+y^2-14y+3=0$ [/mm] und [mm] $x^2+12x+y^2-2y-13=0$
[/mm]
(2. Gleichung ersetzen durch 2. Gleichung - 1. Gleichung)
[mm] $\gdw$ $x^2-4x+y^2-14y+3=0$ [/mm] und $16x+12y-16=0$
[mm] $\gdw$ $x^2-4x+y^2-14y+3=0$ [/mm] und [mm] $x=1-\bruch34y$
[/mm]
(2. Gleichung in 1. Gleichung einsetzen)
[mm] $\gdw$ $(1-\bruch34y)^2-4(1-\bruch34y)+y^2-14y+3=0$ [/mm] und [mm] $x=1-\bruch34y$
[/mm]
(hier habe ich jetzt mal einen Zwischenschritt ausgelassen)
[mm] $\gdw$ $y^2-8y=0$ [/mm] und [mm] $x=1-\bruch34y$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] ($y=8$ oder $y=0$) und [mm] $x=1-\bruch34y$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] ($y=8$ und [mm] $x=1-\bruch34y$) [/mm] oder ($y=0$ und [mm] $x=1-\bruch34y$)
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] ($y=8$ und [mm] $x=1-\bruch34*8$) [/mm] oder ($y=0$ und [mm] $x=1-\bruch34*0$)
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] ($y=8$ und $x=-5$) oder ($y=0$ und $x=1$)
Antwortsatz: ...
War das halbwegs verständlich?
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:53 Mo 22.02.2010 | | Autor: | nicom88 |
Jop, glasklar =)
Vielen Dank!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Mo 22.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Bitte benutze für nicht zur ursprünglichen Frage gehörige Fragen in Zukunft einen neuen Thread.
> Könnt ihr mir noch bei etwas anderem Helfen?
>
> 7x+24y=100 wie bringe ich das in die Parameterform?
Für die Parameterform benötigst du ja einen Stützvektor und einen Richtungsvektor.
Welche Vektoren eignen sich als Stützvektor? Alle Vektoren, die Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden sind. Wie gelangt man an einen solchen Punkt? Mithilfe der gegebenen Geradengleichung kannst du z.B. einen Punkt (x,y) auf der Geraden mit x=0 (wobei die 0 hier willkürlich gewählt ist) finden.
Welche Vektoren eignen sich als Richtungsvektor? Die Differenzen zweier verschiedener Ortsvektoren zu Punkten auf der Geraden. Einen Punkt auf der Geraden hast du ja schon gefunden. Wie findest du einen zweiten? Suche z.B. einen Punkt (x,y) auf der Geraden mit x=1 (wieder ist die 1 willkürlich gewählt, nur halt nicht wieder 0).
Kommst du mit diesen ersten Hinweisen schon zurecht?
Eine andere Möglichkeit (so schlägt es mein Schulbuch vor):
$7x+24y=100$
$\gdw$ $y=\bruch{100}{24}+(-\bruch{7}{24})x$
(Ergänzen einer wahren Aussage)
$\gdw$ ($y=\bruch{100}{24}+(-\bruch{7}{24})x$) und ($x=t$ für eine Zahl t)
$\gdw$ ($y=\bruch{100}{24}+(-\bruch{7}{24})x$ und $x=t$) für eine Zahl t
(Einsetzen der zweiten Gleichung in die erste)
$\gdw$ ($y=\bruch{100}{24}+(-\bruch{7}{24})t$ und $x=t$) für eine Zahl t
$\gdw$ ($y=\bruch{100}{24}+t(-\bruch{7}{24})$ und $x=0+1*t$) für eine Zahl t
$\gdw$ $\vektor{x\\y}=\vektor{0\\\bruch{100}{24}}+t*\vektor{1\\-\bruch{7}{24}}}$ für eine Zahl t
Kurzschreibweise dieser Vorgehensweise:
$7x+24y=100$
$x=x$
$y=\bruch{100}{24}+(-\bruch{7}{24})x$
$\vektor{x\\y}=\vektor{0\\\bruch{100}{24}}+t*\vektor{1\\-\bruch{7}{24}}}$
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