Schnittpunkte zweier Graphen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist eine Funktion f mit [mm] f(x)=x^{4}-4x^{2}+4.
[/mm]
a) Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie und Schnittpunkte mit der x-Achse.
...
d)Der Graph einer ganzrationalen Funktion vom Grad 2 schneidet den Graphen von f für x=1 und x=-1 rechtwinklig. Bestimmen Sie alle Schnittpunkte der beiden Graphen |
Hallo,
a)-c) sind kein Problem, nur Kurvendiskussion.
Aber zu d) habe ich eine Frage, welche Auswirkung hat es, dass sich die Graphen rechtwinklig schneiden?
Ich muss ja erstmal die Funktion g bestimmen, sie hat wohl die Form:
[mm] g(x)=a*x^{2}+b*x+c
[/mm]
Dann bestimme ich über f(1) und f(-1) zwei Punkte die darauf liegen, aber was ist die dritte Bedingung ? Ist das ähnlich wie bei einer Normalen, dass die Steigung der Normalen wenn zwei Geraden (bei ner Normalen ist das doch so) senkrecht aufeinander stehen [mm] \bruch{-1}{m} [/mm] entspricht ?
Lg,
exeqter
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Hallo!
Deine Vermutung ist richtig. Du mußt die Steigung der gegebenen Funktion in den Punkten berechnen, und dann mittels deiner Formel jeweils die Steigungen berechnen, die senkrecht dazu stehen.
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Hi,
wunderbar vielen Dank... Daraus ergeben sich dann aber vier Bedingungen für die Funktion, obwohl ich nur 3 brauche, oder?!
Lg,
exeqter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Di 02.10.2007 | | Autor: | espritgirl |
Hey du *winke*
> wunderbar vielen Dank... Daraus ergeben sich dann aber vier
> Bedingungen für die Funktion, obwohl ich nur 3 brauche,
> oder?!
Ich habe vier:
1) f(1) = g(1)
2) f(-1) = g(-1)
3) f'(1) * g'(1) = -1
4) f'(-1) * g'(-1) = -1
LG
Sarah
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 Di 02.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
da f ja sym zur y-Achse und damit auch g hast du in Wirklichkeit nur eine Bedingung.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Di 02.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, dasss die graphen sich rechtwinklig schneiden heisst die Tangenten schneiden sich senkrecht, also [mm] f'(x_s)*g'(x_s)=-1
[/mm]
Gruss leduart
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Hi,
also ich habe es jetzt so gemacht:
habe die Steigung der Ausgangsfunktion f an den stellen x=1 und x=-1 berechnet.
Ergibt: f'(1)=-4 und f'(-1)=4
Nach einsetzen in [mm] m_{n}=\bruch{-1}{m} [/mm] erhalte ich für x=1 die Steigung 4 und für x=-1 die Steigung -4.
Richtig ?
Lg,
exeqter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:11 Di 02.10.2007 | | Autor: | espritgirl |
Als Tipp:
Immer die Rechnungen mit posten.
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Hallo
> Hi,
>
> also ich habe es jetzt so gemacht:
>
> habe die Steigung der Ausgangsfunktion f an den stellen x=1
> und x=-1 berechnet.
> Ergibt: f'(1)=-4 und f'(-1)=4
>
Das ist richtig.
> Nach einsetzen in [mm]m_{n}=\bruch{-1}{m}[/mm] erhalte ich für x=1
> die Steigung 4 und für x=-1 die Steigung -4.
>
> Richtig ?
>
> Lg,
>
> exeqter
Die Steigung von was ist 4 bzw -4?
Was du herausfinden willst ist ja die 3. Bedingung.
Die wäre f'(1)g'(1)=-1 mit f'(1)=-4 und g'(1)=2a+b: -4(2a+b)=-1
Jetzt hast du deine 3. Bedingungen und kannst a, b und c von g(x) bestimmen.
Gruß
Reinhold
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Hi,
da verstehe ich deinen letzten Schritt nicht, wieso f'(1)*g'(1)=-1 und f'(1)=4 g'(1)=2*a+b ?
Lg
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Hallo
Die Tangenten müssen sich an der Stelle x=1 rechtwinklig schneiden, also muss f'(1)g'(1)=-1 gelten. dass f'(1)=-4 ist, hast du schon selber festgestellt.
g'(x)=2ax+b
g'(1)=2a+b
daraus folgt, dass -4(2a+b)=-1 gelten muss.
Gruß
Reinhold
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Hallo nochmal,
kann ich das mit f'(1)*g'(1)=-1 irgendwo nachlesen? Habe davon noch nie etwas gehört...
lg
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Hallo
Die Formel kennst du doch.
Die Tangente t und die Normale n stehen senkrecht zueinander, wenn m(n)*m(t)=-1 gilt. (steht auch auf: http://de.wikipedia.org/wiki/Normale)
m(n)=Normalensteigung
m(t)=Tangentensteigung
Das ist hier nichts anderes. Wenn sich die Graphen senkrecht schneiden, schneiden sich auch die Tangenten senkrecht. Die Tangentensteigungen sind die ersten Ableitungen.
Gruß
Reinhold
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:05 Di 02.10.2007 | | Autor: | MontBlanc |
Hi,
okay jetzt wird es etwas klarer.
Die Sache mit Tangente und Normale haben wir nur angerissen, das war mir so nicht bekannt, bzw. ich habe den zusammenhang nicht gesehen.
ich komme dann für die Funktion 2ten Grades auf folgende Gleichung:
[mm] g(x)=\bruch{1}{8}*x^{2}+\bruch{7}{8}
[/mm]
Vielen Dank für deine Hilfe :)
Schönen Abend noch
exeqter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:40 Di 02.10.2007 | | Autor: | vagnerlove |
Hallo
> Hi,
>
> okay jetzt wird es etwas klarer.
>
> Die Sache mit Tangente und Normale haben wir nur
> angerissen, das war mir so nicht bekannt, bzw. ich habe den
> zusammenhang nicht gesehen.
>
>
> ich komme dann für die Funktion 2ten Grades auf folgende
> Gleichung:
>
> [mm]g(x)=\bruch{1}{8}*x^{2}+\bruch{7}{8}[/mm]
>
> Vielen Dank für deine Hilfe :)
>
> Schönen Abend noch
>
> exeqter
Deine Funktion ist vollkommen richtig.
Gruß
Reinhold
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