Schnittpunkte dreier Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 Di 03.05.2011 | | Autor: | maximi |
| Aufgabe | Gegeben sind die folgenden drei Ebenen:
E1: [mm] \vektor{2 \\ -3 \\ -1}x [/mm] = 3 , E2: [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 2}x [/mm] = 5 , E3: [mm] \vektor{1 \\ -3 \\ 4}x [/mm] = 21
Geben Sie die Menge der Punkte an, die gleichzeitig auf allen drei angegebenen Ebenen liegen! |
Guten Abend,
ich habe folgendes Problem.
Mein Ansatz wäre, die Schnittgerade zwischen Ebene E1 und E2 zu ermitteln, sowie die Schnittgerade zwischen E2 und E3. Die beiden Geraden würde ich dann gleichsetzen, und é voila... gelöst. Hoffentlich.
Mein Problem liegt eigentlich darin, das ich mit der Form der Ebenen nichts anfangen kann. Wenn ich z.B. bei E1 die 3 subtrahiere, habe ich dann die Hesse'sche Normalform? Bin etwas ratlos. Außerdem brauche ich laut meiner Formelsammlung etwas in der Richtung
n * (r - r1) = 0
um die Schnittgearden zu bekommen... bin etwas konfus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Di 03.05.2011 | | Autor: | abakus |
> Gegeben sind die folgenden drei Ebenen:
> E1: [mm]\vektor{2 \\ -3 \\ -1}x[/mm] = 3 , E2: [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 2}x[/mm]
> = 5 , E3: [mm]\vektor{1 \\ -3 \\ 4}x[/mm] = 21
>
> Geben Sie die Menge der Punkte an, die gleichzeitig auf
> allen drei angegebenen Ebenen liegen!
> Guten Abend,
> ich habe folgendes Problem.
>
> Mein Ansatz wäre, die Schnittgerade zwischen Ebene E1 und
> E2 zu ermitteln, sowie die Schnittgerade zwischen E2 und
> E3. Die beiden Geraden würde ich dann gleichsetzen, und é
> voila... gelöst. Hoffentlich.
>
> Mein Problem liegt eigentlich darin, das ich mit der Form
> der Ebenen nichts anfangen kann. Wenn ich z.B. bei E1 die 3
> subtrahiere, habe ich dann die Hesse'sche Normalform? Bin
> etwas ratlos. Außerdem brauche ich laut meiner
> Formelsammlung etwas in der Richtung
>
> n * (r - r1) = 0
>
> um die Schnittgearden zu bekommen... bin etwas konfus.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
das was du mit "x" beschreibst, soll sicher der Vektor [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm] sein?
Damit kann E1 durch [mm] 2x_1-3x_2-x_3=3 [/mm] beschrieben werden. Hilft das?
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Di 03.05.2011 | | Autor: | maximi |
Das wäre dann ja nahe an der Koordinatenform, oder nicht?
Aber was fange ich dann mit der 3 auf der rechten Seite der Gleichung an?
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Hallo maximi,
> Das wäre dann ja nahe an der Koordinatenform, oder nicht?
> Aber was fange ich dann mit der 3 auf der rechten Seite
> der Gleichung an?
Die "3" auf der rechten Seite bleibt stehen.
Machst Du das analog mit den anderen beiden
Ebenengleichungen, so hast Du dann 3 Gleichungen
iin 3 Variablen.
Gruss
MathePower
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Hallo,
zum vorigen Tipp noch ein kleiner Schubser: könnte es mit einem 3x3-LGS etwas werden? 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Di 03.05.2011 | | Autor: | maximi |
[mm] \pmat{ 3 & -3 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & -3 & 4 } \vektor{x1 \\ x2 \\ x3}=\vektor{3 \\ 5 \\ 21}
[/mm]
...und das dann lösen? Genial, wenn das geht.
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Hallo,
genau so geht es aber: jede Ebenengleichung ist doch eine linerae Gleichung in drei Variablen. Du suchst die Schnittmenge dieser Ebenen, dieser entspricht natürlich genau die Lösugsmenge des LGS.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Di 03.05.2011 | | Autor: | maximi |
Okay, ich habe das LGS gelöst und habe als Ergebnis x1 = 0, x2 = -2,2 und x3 = 3,6.
Da keine der Variablen frei wählbar war, habe ich somit einen Vektor der auf den einen Punkt zeigt, der allen drei Ebenen gemeinsam ist, oder?
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Hallo,
IMO hast du dich verrechnet. Rechne das nochmal durch, ich denke, die Lösungsmenge ist etwas länger als ein Punkt.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 Di 03.05.2011 | | Autor: | maximi |
Die Matrix ist regulär, heisst das nicht das ich zwangsläufig eine eindeutige Lösung bekommen muss?
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Die von Dir zuvor genannte Lösung stimmt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:21 Mi 04.05.2011 | | Autor: | maximi |
Danke, das hört man gerne.
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Hallo maximi,
ich hatte mich vertan, deine Lösung ist richtig, wie ja auch schon bestätigt wurde.
Gruß, Diophant
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