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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:08 Mi 21.09.2016 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | An einem kugelförmigen Behälter sind zwei Halteseile angebracht. Diese Halteseile sind am Kugelquerschnitt und im Boden an den Punkten A (5 / -10) und B (-5 / -10) befestigt.
Der Kugelquerschnitt hat den Mittelpunkt im Ursprung und den Radius r = 2 (m).
In welchen Punkten P und Q sind die Seile an der Kugel befestigt? |
Moin Moin!
Ich habe zunächst die Kreisgleichung aufgestellt.
k: [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 4
Es müssen die Tangenten an den Kreis gelegt werden, die durch A bzw. B laufen und den Kreis in P bzw. Q berühren.
Ich habe nun den Kreis und das Dreieck MPA (sowie das Dreieck MQB) gezeichnet.
Das Dreieck MPA hat in A einen rechten Winkel, sonst würde die Tangente durch A und P keine Tangente sein.
Über den Pythagoras kann ich die Länge des Vektors [mm] \overrightarrow{AP} [/mm] berechnen...
[mm] |\overrightarrow{AP}|^2 [/mm] = [mm] |\overrightarrow{AM}|^2 [/mm] - [mm] r^2
[/mm]
= 125 - 4 = 121
=> [mm] |\overrightarrow{AP}| [/mm] = 11
Ich möchte nun die Steigung der Tangente berechnen...
Dazu betrachte ich den Winkel MAP -> tan(MAP) = [mm] \bruch{2}{11}
[/mm]
und den Winkel AZM des Dreiecks AZM mit Z (0 / -10) -> tan(AZM) = [mm] \bruch{10}{5} [/mm]
Die Steigung m der Tangente ist dann [mm] m_1 [/mm] = 2 + [mm] \bruch{2}{11} [/mm] = [mm] \bruch{24}{11} [/mm] bzw. da die Tangente fällt [mm] m_1 [/mm] = - [mm] \bruch{24}{11}
[/mm]
Daraus folgt, dass die Hilfsgerade h durch M und P die Steigung [mm] m_2 [/mm] = + [mm] \bruch{11}{24}
[/mm]
h: y = [mm] \bruch{11}{24}*x [/mm] +0 [Da M (0/0) !! ]
Einsetzen von h in die Kreisgleichung...
[mm] x^2 [/mm] + [mm] (\bruch{11}{24}*x)^2 [/mm] = 4
[mm] x_{1/2} [/mm] = +/ - 1,818129646
[mm] y_{1/2} [/mm] = +/ - 0,833309421
Daraus würde folgen P (- 1,818129646 / - 0,833309421)
Leider ergibt sich dann [mm] \overrightarrow{AP} [/mm] = [mm] \vektor{1,818129646 \\ 0,833309421} [/mm] - [mm] \vektor{5 \\ -10} [/mm] = [mm] \vektor{-3,181870354 \\ 10,83330942}
[/mm]
Die Länge dieses Vektors beträgt 11,29 -> also viel zu lang!!
???
Danke & Gruß!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Mi 21.09.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein dicker Fehler; tan(a+b) [mm] \not= [/mm] tan(a)+tan(b)
warum nicht den Kreis um 0 mit dem um A mit r=11 schneiden? oder Thaleskreis um MA
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Mi 21.09.2016 | | Autor: | hase-hh |
Vielen Dank!
1. Lösung über Thaleskreis... nur kurze Anmerkung
[mm] \overrightarrow{MA} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ -10} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\
-10}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{OM_{T}} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OM} +\bruch{1}{2}*\vektor{5 \\ -10}
[/mm]
[mm] M_{T} [/mm] = [mm] \vektor{2,5 \\ -5}
[/mm]
[mm] r_{T} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*| \vektor{5 \\ -10} [/mm] | = [mm] 2,5*\wurzel{5} \approx [/mm] 5,6
[mm] (x-2,5)^2 [/mm] + [mm] (y+5)^2 [/mm] = 31,25
... und dann die Schnittpunkte des Thaleskreises mit dem Kreis berechnen...
2. Lösung über Hilfskreis mit Mittelpunkt A und Radius r=11.
I. [mm] x^2 +y^2 [/mm] = 4
II. [mm] (x-5)^2 +(y+109)^2 [/mm] = 121
I. [mm] x^2 [/mm] +y2 = 4
II. [mm] x^2 [/mm] -10x +25 [mm] +y^2 [/mm] +20y +100 = 121
II.-I.
-10x +25 +20y +100 = 121
=> x = 2y + 0,8
in I. einsetzen
[mm] (2y+0,8)^2 +y^2 [/mm] = 4
[mm] y^2 [/mm] +0,64y -0,672 = 0
[mm] y_1 [/mm] = 0,56 => [mm] x_1 [/mm] = 1,92
[mm] y_2 [/mm] = -1,2 => [mm] x_2 [/mm] = -1,6
Da P im 1. Quadranten liegt, lautet P (1,92 / 0,56)
Probe:
[mm] \overrightarrow{AP} [/mm] = [mm] \vektor{-3,08 \\ 10,56}
[/mm]
| [mm] \overrightarrow{AP} [/mm] | = 11
3. Lösungsweg über Winkelberechnung und Tangens...
Ich muss also zunächst die Winkel berechnen...
[mm] tan(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{2}{11} [/mm] => 10,3°
[mm] tan(\delta) [/mm] = [mm] \bruch{10}{5} [/mm] = 2 => 63,4°
=> [mm] \alpha [/mm] + [mm] \delta [/mm] = 10,3° + 63,4!° = 73,7°
Jetzt m berechnen: m = - tan(73,7°) = -3,42
daraus folgt für die Normale y = [mm] \bruch{1}{3,42}*x
[/mm]
y=0,29*x
in Kreisgleichung einsetzen
[mm] x^2 [/mm] + [mm] (0,29x)^2 [/mm] = 4
=> [mm] x_{1/2} [/mm] = + - 1,92 => [mm] y_{1/2} [/mm] = + - 0,56
usw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:32 Do 22.09.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieht richtig aus, Zahlenwerte hab ich nicht überprüft, aber da es 2 Tangenten gibt, wer sagt, dass die Seile nicht überkreuz gehen? also warum im 1. Quadranten. oder steht davon was in der Aufgabe, das ich überlesen habe?
Gruß leduart
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