Schnittpunkt Geraden Scharpara < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 So 27.02.2005 | | Autor: | Disap |
Hallo,
folgende Aufgabe bereitet mir Probleme.
Wie muss t [mm] \in \IR [/mm] gewaehlt werden, damit sich g und h schneiden(windschief sind)?
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 3 \\4 \\2 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 3 \\-6 \\-3t \end{pmatrix}
[/mm]
h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\5 \\4 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 2 \\2t \\4 \end{pmatrix}
[/mm]
Nun, allgemein stellt man ja h: [mm] \vec{x}=g: \vec{x} [/mm] und löst das halt über 3 lineare Gleichungssysteme, da man nur drei Unbekannte hat, ist das ja möglich. Hierbei liegt ja auch nicht das Problem, sondern eher der Sonderfall, der hier auftritt. Ist t nämlich = -2, so sind die Richtungsvektoren ja ein Vielfaches voneinander => linear abhängig (nennt man das auch kollinear?)
Wie kann man das nun errechnen, dass es ein t gibt, wobei die Geraden parallel sind?
Also man betrachtet ja die Richtungsvektoren,
evtl. einfach
I. 3=2s
II. -6 = 2t*s (hierbei dann das s einsetzen)
III. -3t=4s (auch hier das s einsetzen)
und dann die Ts überprüfen, quasi in die Scharparametergleichung einsetzen und noch einmal über ein LGS(=Lineares Gleichungssystem) zeigen, dass sie parallel sind.
mit freundlichen Grüßen Disap
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Hi, Disap,
Du kannst natürlich auch erst mal die Determinante
[mm] |\overrightarrow{AB} \vec{u} \vec{v}| [/mm] = 0 setzen
(wobei u, v die Richtungsvektoren der Geraden sind und AB der Verbindungsvektor der Aufpunkte).
Das Ergebnis für t, das dabei rauskommt, steht für die Tatsache, dass die Geraden in einer gemeinsamen Ebene liegen (also entweder parallel sind oder sich schneiden). In allen anderen Fällen, d.h. für alle anderen Werte von t sind die Geraden windschief.
Das daraus berechnete t setzt Du dann ein und überprüfst, ob eben Parallelität vorliegt (wie in Deinem Fall) oder ob die Geraden sich schneiden.
Wenn sie parallel sind, könnten sie natürlich auch identisch sein (d.h. Du hast nicht zwei, sondern nur eine einzige Gerade). Prüfen wir das grade noch bei Deinem Beispiel:
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{-2\\1\\2}. [/mm]
Dies ist aber kein Vielfaches eines der beiden Richtungsvektoren für t=-2. Demnach sind die Geraden für t=-2 echt parallel, für [mm] t\not=-2 [/mm] windschief.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 So 27.02.2005 | | Autor: | Disap |
Guten Abend,
Vielen Dank Zwerglein für deine Antwort:
> Hi, Disap,
>
> Du kannst natürlich auch erst mal die Determinante
>
> [mm]|\overrightarrow{AB} \vec{u} \vec{v}|[/mm] = 0
> setzen
> (wobei u, v die Richtungsvektoren der Geraden sind und AB
> der Verbindungsvektor der Aufpunkte).
Was genau heißt das?
Also der Verbindungsvektor ist ja der Ortsvektor (?) und was mache ich dann damit?
[mm] \begin{pmatrix} 3 \\-6 \\-3t \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\2t \\4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 \\4 \\2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\5 \\4 \end{pmatrix} [/mm] = 0
[mm] \vec{Richtungsvektor}+ \vec{Ortsvektor/Verbindungsvektor}
[/mm]
Liebe Grüße Disap
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Hi, disap,
Deine Frage deutet mir an, das Du den Begriff "Determinante" nicht kennst!
Dann ist allerdings der von mir vorgeschlagene Lösungsweg für Dich nicht brauchbar und Du musst die Aufgabe so lösen, wie Du's in Deiner ursprünglichen Frage schon gemacht hast.
Übrigens: "Verbindungsvektor" ist nicht dasselbe wie "Ortsvektor" sondern der Vektor zwischen den beiden Aufpunkten, also rechnerisch: "Spitze minus Fuß", sozusagen "B minus A".
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 So 27.02.2005 | | Autor: | Disap |
> Wie kann man das nun errechnen, dass es ein t gibt, wobei
> die Geraden parallel sind?
> Also man betrachtet ja die Richtungsvektoren,
> evtl. einfach
> I. 3=2s
> II. -6 = 2t*s (hierbei dann das s einsetzen)
> III. -3t=4s (auch hier das s einsetzen) => wobei hier ja auf irgendwie nicht t=-2 herauskommt
>
> und dann die Ts überprüfen, quasi in die
> Scharparametergleichung einsetzen und noch einmal über ein
> LGS(=Lineares Gleichungssystem) zeigen, dass sie parallel
> sind.
Wiseo darf man denn hier "nur" einen Skalar (nämlich das s oder das r) verwenden?
mit freundlichen Grüßen Disap
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Hi, Disap,
> > Wie kann man das nun errechnen, dass es ein t gibt,
> wobei
> > die Geraden parallel sind?
> > Also man betrachtet ja die Richtungsvektoren,
> > evtl. einfach
> > I. 3=2s
> > II. -6 = 2t*s (hierbei dann das s einsetzen)
> > III. -3t=4s (auch hier das s einsetzen) => wobei hier
> ja auf irgendwie nicht t=-2 herauskommt
Wieso denn?
Aus I. folgt ja: s=1,5; das setzt Du in die II.Gleichung ein: -6 = 2t*1,5 bzw. t=-2 (na also!) und zur Probe setzt Du noch in die III. Gleichung ein, wobei Du eine wahre Aussage erhältst. q.e.d.
>
> Wiseo darf man denn hier "nur" einen Skalar (nämlich das s
> oder das r) verwenden?
Du "darfst" sehr wohl auch 2 Parameter verwenden, aber das wäre nicht gerade geschickt, denn wenn Du zeigen sollst, dass Parallelität vorliegt, genügt es, zu zeigen, dass der eine Richtungsvektor (sagen wir [mm] \vec{u}) [/mm] ein Vielfaches des anderen (sagen wir [mm] \vec{v}) [/mm] ist.
Wenn nämlich - wie bei Dir - herauskommt, dass
[mm] \vec{u} [/mm] = [mm] 1,5*\vec{v} [/mm] ist (also s=1,5),
so gilt natürlich auch:
[mm] 2*\vec{u} [/mm] = [mm] 3*\vec{v} [/mm] (also: r=2 und s=3)
oder
[mm] 4*\vec{u} [/mm] = [mm] 6*\vec{v} [/mm] usw. (also r=4; s=6);
usw., usw.
Was tust Du also im Grunde? Du setzt r=1 und rechnest s aus.
Noch was zur Buchstabenwahl: Im Grunde ist es schlecht (wenn auch nicht falsch), im Gleichungssystem dieselben Buchstaben (r oder s) zu verwenden, die bereits als Parameter in den Geradengleichungen vorkommen. Dort haben sie nämlich eine andere Bedeutung: Mit ihrer Hilfe findest Du Punkte, die auf den Geraden liegen; Hier aber bedeutet s=1,5 lediglich: Der Vektor [mm] \vec{u} [/mm] ist 1,5 mal so lang wie der Vektor [mm] \vec{v}.
[/mm]
Klaro?
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:31 Mo 28.02.2005 | | Autor: | Disap |
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> Klaro?
>
> mfG!
> Zwerglein
>
Joa, danke, das habe ich verstanden.
Merci beaucoup
LG Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Mo 28.02.2005 | | Autor: | Disap |
Dummerweise ist mir doch noch etwas unklar. Ich beherrsche ja leider nicht das Verfahren von Gauß und damit bleiben mir ja noch noch Additions-/Subtraktions-, Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren.
Ich möchte nun einen Schnittpunkt berechnen, komme aber nicht auf das Ergebnis.
Ich erstelle erst einmal drei lineare Gleichungssysteme
g: [mm] \vec{x}=h: \vec{x}
[/mm]
3+3r = 1+2s
4-6r = 5+2st
2-3rt = 4+4s
etwas umgestellt bekomme ich:
I 2 = 2s - 3r
II -1 = 2st + 6r
III -2 = 4s + 3rt
Dann stelle ich I nach s um => s= [mm] \bruch{2+3r}{2}
[/mm]
In II und III eingesetzt
-1 = 2 + 3rt + 6r
-2 = 4 + 3rt + 6r
würde sich also wunderbar wegheben, was bedeutet, dass die keinen Schnittpunkt für t=0 haben. Wo ist da der Fehler?
Das ich jetzt eben nur das "s" in Abhängigkeit von r umgestellt habe?
Oder liegts sogar ganz am System?
mfg Disap
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Hi, Disap,
jetzt hast Du den Überblick verloren!
Also, ich stelle mal zusammen: Wir haben berechnet, dass die Geraden für t=-2 echt parallel liegen, für t [mm] \not= [/mm] -2 windschief.
Einen weiteren Fall gibt es nicht!!!
Also: Schnittpunkt unmöglich!!
Berichtigung siehe unten!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Mo 28.02.2005 | | Autor: | Disap |
Oah, entschuldige bitte, dass ich so oft Frage, ich komme mir selbst schon ganz schön blöd vor.
Aber ich sehe einfach nicht, wodran du das festmachst, dass sie für
> für t [mm]\not=[/mm] -2 windschief.
> Einen weiteren Fall gibt es nicht!!!
So weit ich das nachvollziehen konnte, kann man ja an der Vektorgleichung etwas herumrechnen (also keine lineare Gleichungssysteme) und zeigen, dass die Geraden auf einer Ebene liegen. (So viel zur Theorie).
Wie würde man das dann in der Praxis machen?
Danke, dass du mir so oft darauf geantwortet hast, auf die wohl zum Teil relativ "dämlichen" Fragen
Liebe Grüße Disap
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Hi, disap,
frag' nur! Meine Geduld ist meine größte Stärke!
Du hast mir auf meine Frage, ob Du die Determinante kennst, noch nicht geantwortet. Also nehm' ich mal an, Du kennst sie nicht und musst den etwas umständlicheren Weg über das Gleichungssystem gehen.
(Nebenbei ist dieses kein "lineares" Gleichungssystem, denn es kommen bei diesem hier auch Ausdrücke wie "st" und "rt" vor; das geht bei einem linearen Gleichungssystem nicht!)
Du hast es ja in Deinem vorletzten Beitrag praktisch schon gelöst! Dein Ergebnis war:
-1 = 2 + 3rt + 6t
-2 = 4 + 3rt + 6r
Nun subtrahiere mal beide Gleichungen!
Ergebnis:
1 = -2 (die Parameter fallen alle raus!)
Dies aber ist ganz klar ein WIDERSPRUCH.
Interpretation: Das Gleichungssystem ist unlösbar! Kein Schnittpunkt möglich!
Das geht aber nur, wenn Geraden echt parallel sind (t=-2) oder aber windschief.
Dass die Geraden "auf einer Ebene" liegen ist nur für den Fall richtig, dass sie parallel sind. Zwei Geraden, die in einer Ebene liegen, sind nämlich entweder parallel oder sie schneiden sich. Dass Letzteres nicht passieren kann, ist durch obigen Widerspruch endgültig bewiesen!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:18 Di 01.03.2005 | | Autor: | Disap |
Achso, deswegen haut das alles nicht hin, du hast dich auf meine Rechnung bezogen.
In meiner Rechnung schrieb ich:
I 2 = 2s - 3r
II -1 = 2st + 6r
III -2 = 4s + 3rt
I nach s umgestellt => s=...
In II eingesetzt, hier war mein Fehler, kommt jedoch:
II -1 = 2t + 3rt+6r
III -2 =4+3rt+6r
heraus
(statt
-1 = 2 + 3rt + 6r)
nun nach t aufgelöst => t=2,5 => s= [mm] \bruch{1}{3}, [/mm] r= -0,444
Da gabs dann wohl ein Missverständnis, ich dachte, du beziehst dich auf etwas anderes.
Evtl. kannst du da ja noch miteinstimmen?
mfG Disap
(Anmerkung, der Server ist extrem langsam gerade)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:28 Di 01.03.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, disap,
hab's nochmal ganz von vorne durchgerechnet: Du hast Recht!
Für den Fall t=2,5 gibt's tatsächlich einen Schnittpunkt!
Hab' wieder zu oberflächlich gerechnet (auch die Determinante hat nämlich 2 Lösungen: t=-2 und t=2,5). Jaja: Konzentration ist alles!
Ich hoff', ich hab' Dich nicht allzusehr "durcheinandergbracht"!)
Also:
Parallel für t=-2,
Schnittpunkt für t=2,5,
windschief in allen anderen Fällen!
(Aber nun MUSS es stimmen!)
mfG!
Zwerglein
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