Schnittpunkt Funktionsschar < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Sa 28.06.2008 | | Autor: | raida |
Hallo,
Wie zeige ich, dass sich alle Kurven der Funktionsschar fz
fz(x) = z*x + 5 /[x²-1]
in einem Punkt schneiden?
Vielen Dank!
gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Sa 28.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo raida,
> Hallo,
> Wie zeige ich, dass sich alle Kurven der Funktionsschar
> fz
>
> fz(x) = z*x + 5 /[x²-1]
>
> in einem Punkt schneiden?
indem Du den Schnittpunkt je zweier Kurven bildest. Und zwar ganz allgemein.
Dazu nimmst Du als als Parameter [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2:
[/mm]
[mm] $f_{z_1}(x)=f_{z_2}(x)$
[/mm]
und erhältst einen Schnittpunkt, der nicht von z abhängt.
Schöne Grüße
ardik
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Sa 28.06.2008 | | Autor: | raida |
Hallo,
danke für deine Antwort!
das habe ich auch gedacht, aber das geht irgendwie nicht weil sich alles herauskürzt und
z1 = z2 herauskommt
vgl.:
z1*x + 5 /[x²-1] = z2*x +5/[x²-1]
als nächstes habe ich versucht (weil x ja bei anderem z nicht gleich sein kann) links x1 und rechts x2 einzusetzen...es kommt ein ewig langer Term heraus, aber da muss es wohl eine andere Lösung geben!??
danke!
gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Sa 28.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Löse die entstehende Gleichung mal nach x auf.
[mm] \bruch{z_{1}x+5}{x²-1}=\bruch{z_{2}x+5}{x²-1}
[/mm]
Oder ist [mm] f_{z}(x)=z*x+\bruch{5}{x²-1} [/mm] ? Dann solltest du das mit den Formeleditor auch so schreiben.
(den solltest du generell benutzen, das ist hilfreicher für die Helfer).
Wie auch immer, du musst die dann entstehende Gleichung nach x auflösen. Dann solltest du mindestens einen Schnittpunkt bekommen, indem kein z mehr vorkommt.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Sa 28.06.2008 | | Autor: | raida |
Nein ist schon
[mm] \bruch{z_1*x+5}{x^2-1} [/mm] = [mm] \bruch{z_2*x+5}{x^2-1}
[/mm]
Ich verstehe aber nicht, wie ich hier nach x auflösen soll es kürzt sich doch alles heraus bzw. wenn ich ausmultipliziere kann ich das kein x erhalten da ich dann folgendes erhalte:
[mm] x^3(z_1-z_2)-x(z_1-z_2) [/mm] = 0
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Sa 28.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo raida,
Da [mm] $z_1 \ne z_2$ [/mm] (sonst sind es ja keine unterschiedlichen Kurven) ist [mm] $z_1-z_2 \ne [/mm] 0$ also kannst Du durch [mm] $(z_1-z_2)$ [/mm] teilen... 
Schöne Grüße,
ardik
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Sa 28.06.2008 | | Autor: | raida |
Irgendwie versteh ich das nicht...
Wenn ich:
[mm] x^3(z_1-z_2)-x(z_1-z_2) [/mm] = 0
durch [mm] (z_1-z_2) [/mm] teile dann erhalte ich doch [mm] x^3 [/mm] = x bzw. [mm] x^2=1 [/mm] also x=1
Soll das die Lösung sein?
Danke und
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Sa 28.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Irgendwie versteh ich das nicht...
> Wenn ich:
>
> [mm]x^3(z_1-z_2)-x(z_1-z_2)[/mm] = 0
>
> durch [mm](z_1-z_2)[/mm] teile dann erhalte ich doch [mm]x^3[/mm] = x bzw.
> [mm]x^2=1[/mm] also x=1
> Soll das die Lösung sein?
Fast:
Aus
[mm] x^{3}*(z_{1}-z_{2})-x*(z_{1}-z_{2})
[/mm]
folgt:
[mm] x^{3}*(z_{1}-z_{2})-x*(z_{1}-z_{2})=0
[/mm]
[mm] \gdw x((z_{1}-z_{2})x²-(z_{1}-z_{2})=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x=0 oder [mm] (z_{1}-z_{2})x²-(z_{1}-z_{2})=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x=0 oder x²-1=0
[mm] \gdw [/mm] x=0 oder [mm] x=\pm1 [/mm]
Also hast du drei "Kandidaten" für Schnittpunkte unabhängig von z.
Jetzt musst du hast mal die y-Koordinaten dieser Punkte bestimmen, um sicher zu gehen, dass auch diese von z unabhängig sind.
>
> Danke und
> Gruß
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:45 Sa 28.06.2008 | | Autor: | raida |
Alles klar danke an alle! Klasse Forum!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Sa 28.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo raida,
> (weil x ja bei anderem z
> nicht gleich sein kann)
DOCH!
Das ist ja grade das Prinzip bei der Schnittpunktbestimmung, dass man den Punkt sucht, der bei ein und demselben x (und y -> daher das Gleichsetzen) beide Funktionsgleichungen erfüllt (also auf beiden Kurven liegt)
Schöne Grüße
ardik
|
|
|
|
