Schnittmultiplizität berechnen < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 23:50 Di 09.12.2014 | | Autor: | evinda |
Hallo!!!
Ich will die Schnittmultiplizität der Kurven
[mm] f(x,y)=x^5+x^4+y^2 [/mm] und [mm] g(x,y)=x^6-x^5+y^2 [/mm] im Punkt P=(0,0) berechnen.
f und g haben eine gemeinsame Tangente, die y=0.
Also I(P, [mm] f\cap [/mm] g) > [mm] m_P(f) \cdot m_P(g)=4
[/mm]
f(x, [mm] 0)=x^5+x^4 \Rightarrow s=\deg [/mm] f(x, 0)=5
g(x, [mm] 0)=x^6-x^5 \Rightarrow [/mm] r [mm] =\deg [/mm] g(x, 0)=6
s [mm] \leq [/mm] r
Wir nehmen das Polynom h(x, y)=g(x, y)-x f(x, y) an.
h(x, [mm] y)=x^6-x^5+y^2-x(x^5+x^4+y^2)=x^6-x^5+y^2-x^6-x^5-xy^2 \Rightarrow [/mm] h(x, [mm] y)=-2x^5+y^2-xy^2
[/mm]
[mm] \deg [/mm] h(x, 0)=5<r
Also I(P, [mm] f\cap g)=I(P,f\cap [/mm] h)
[mm] f(x,0)=x^5+x^4\Rightarrow \deg [/mm] f(x,0)=5=s
[mm] h(x,0)=-2x^5\Rightarrow \deg [/mm] h(x,0)=5=p
f und h haben eine gemeinsame Tangente, die x=0, also ist der Schnittpunkt nicht transversal.
Wir nehmen das Polynom [mm] h_1(x,y)=h(x,y)+2f(x,y)=3y^2-xy^2+2x^4 [/mm] an
deg [mm] h_1(x,0)=4
Also I(P, [mm] f\cap h)=I(P,f\cap h_1)
[/mm]
[mm] f(x,0)=x^5+x^4 \Rightarrow \deg [/mm] f(x,0)=5=s
[mm] h_1(x,0)=2x^4\Rightarrow \deg h_1(x,0)=4=t
[/mm]
f und [mm] h_1 [/mm] haben eine gemeinsame Tangente, die x=0, also ist der Schnittpunkt nicht transversal.
Wir nehmen das Polynom [mm] h_2(x,y)=2f(x,y)-xh_1(x,y)=2x^4+2y^2-3xy^2+x^2y^2 [/mm] an
[mm] \deg h_2(x,0)=4
Also I(P, [mm] f\cap h_1)=I(P, h_1\cap h_2)
[/mm]
[mm] h_1(x,0)=2x^4\Rightarrow \deg h_1(x,0)=4=s
[/mm]
[mm] h_2(x,0)=2x^4\Rightarrow \deg h_2(x,0)=4=m
[/mm]
[mm] h_1 [/mm] und [mm] h_2 [/mm] haben eine gemeinsame Tangente, die x=0, also ist der Schnittpunkt nicht transversal.
Wir nehmen das Polynom [mm] h_3(x,y)=h_1(x,y)-h_2(x,y)=y^2(1+2x-x^2)
[/mm]
[mm] \deg h_3(x,0)=0
Also [mm] I(P,h_1\cap h_2)=I(P,h_2\cap h_3)
[/mm]
[mm] h_2(x,0)=2x^4 \Rightarrow \deg h_2(x,0)=4=m
[/mm]
[mm] h_3(x,0)=0\Rightarrow \deg h_3(x,0)=0=n
[/mm]
Also [mm] I(P,h_2\cap h_3)=I(P,h_2\cap y^2)+I(P,h_2\cap (1+2x-x^2))
[/mm]
[mm] I(P,h_2\cap y^2)=8
[/mm]
[mm] I(h_2\cap (1+2x-x^2))=0 [/mm]
Also, I(P, f [mm] \cap [/mm] g)=8.
Ist es richtig? Findet man von f(x,0) ud h(x,0) dass f und h eine gemeinsame Tangente haben?
Ich habe die gleiche Frage in mathstackexchange, in matheplanet und in gute-mathe-fragen gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:19 Mi 10.12.2014 | | Autor: | felixf |
Moin.
> Ich habe die gleiche Frage in mathstackexchange, in
> matheplanet und in gute-mathe-fragen gestellt.
Du weisst schon, dass man auch konkretere Links angeben kann?
LG Felix
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