Schnittkreisgleichung < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:02 Mi 06.05.2015 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Wie kann man eine Schnittkreisgleichung bestimmen? Oder ist dies gar nicht möglich?
Gegeben:
K : [mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{4 \\ 4 \\ 3})^2 [/mm] = 49
E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu*\vektor{-2 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Bestimmen von Schnittkreismittelpunkt und Schnittkreisradius... in Kurzfassung!
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{1\\ 1\\ 1} [/mm]
E: [mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{1\\ 2\\ 1})*\vektor{1\\ 1\\ 1} [/mm] = 0
bzw. x+y+z -4 = 0
Schnittkreismittelpunkt liegt auf der Lotgeraden...
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OM} [/mm] + [mm] t*\vec{n} [/mm]
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{4\\ 4\\ 3} \vektor{1\\ 1\\ 1} [/mm]
g [mm] \cap [/mm] E => M ' [mm] \vektor{5/3 \\ 5/3 \\ 2/3} [/mm]
Abstand d(M, E) = [mm] \bruch{x+y+z-4}{\wurzel{3}} [/mm]
= [mm] \bruch{4+4+3-4}{\wurzel{3}} [/mm] = [mm] \bruch{7}{\wurzel{3}}
[/mm]
Schnittkreisradius r ' ^2 = [mm] r^2 [/mm] - [mm] d^2 [/mm] = 49 - [mm] (\bruch{7}{\wurzel{3}})^2
[/mm]
r ' [mm] \approx [/mm] 5,7
Und nun nochmal meine Frage: Wie kann man hier eine Schnittkreisgleichung bestimmen? |
Wie kann man eine Schnittkreisgleichung bestimmen? Oder ist dies gar nicht möglich?
Der Mittelpunkt des Schnittkreises hat ja drei Koordinaten, daher würde ein Ansatz mit M ' und r ' zu einer Kugelgleichung führen, aber eben nicht zu einer Kreisgleichung!
???
Danke & Gruß!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:32 Do 07.05.2015 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Wie kann man eine Schnittkreisgleichung bestimmen? Oder ist
> dies gar nicht möglich?
>
> Gegeben:
>
> K : [mm](\vec{x}[/mm] - [mm]\vektor{4 \\ 4 \\ 3})^2[/mm] = 49
>
> E: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm] + [mm]\lambda*\vektor{1 \\ -1 \\ 0}[/mm]
> + [mm]\mu*\vektor{-2 \\ 1 \\ 1}[/mm]
K und (logisches 'und') E zusammen sind die Schnittkreisgleichung, genauer das Schnittkreisgleichungssystem.
Gibt es denn im Raum eine Koordinatenform für eine Gerade?
Gruß aus HH
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Do 07.05.2015 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
> Gibt es denn im Raum eine Koordinatenform für eine
> Gerade?
> Gruß aus HH
> Dieter
>
Ja, ich meine schon.
Hilft mir das jetzt irgendwie weiter? Versteh ich nicht!
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> > Gibt es denn im Raum eine Koordinatenform für eine
> > Gerade?
> Ja, ich meine schon.
Hallo,
hier täuschst Du Dich.
(Wie sollte sie aussehen?)
Im dreidimensionalen Raum gibt es keine Koordinatenform der Geradengleichung.
Wenn Du im Raum eine Gerade mit Koordinatengleichungen beschreiben möchtest, kannst Du das tun, indem Du zwei Ebenen angibst, deren Schnitt die besagte Gerade ist.
>
> Hilft mir das jetzt irgendwie weiter? Versteh ich nicht!
Wenn Dir klar wird, daß man Geraden im Raum nicht mit einer Koordinatengleichung beschreiben kann,
wird es für Dich doch zumindest etwas näher in den Bereich des Möglichen Rücken, daß man auch Kreise im Raum nicht durch eine einzige Koordinatengleichung beschreiben kann.
Insofern finde ich den Hinweis auf die Geraden im Raum recht hilfreich.
LG Angela
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:09 Sa 09.05.2015 | | Autor: | hase-hh |
Moin Moin!
upps! Entschuldigung, ich merke gerade, da sind noch ein paar Antworten geschrieben worden... die ich bis eben gar nicht wahrgenommen habe.
Tut mir leid!!
Ich werde mir alles, was bis jetzt geschrieben worden ist, genau anschauen!
Übrigens habe ich mir zur "Winkeldarstellung" schon ein paar zus. Informationen besorgt, bin aber noch nicht dazugekommen...
Danke allen und einstweilen ein schönes Wochenende! 9.5.2015 12:09.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:36 Do 07.05.2015 | | Autor: | weduwe |
eine mögliche Parameterdarstellung deines Schnittkreises wäre
[mm]\vec{x}=\vec{m}^\prime+\frac{r^\prime}{\sqrt{6}}\cdot\vektor{1\\1\\-2}\cdot cos\phi+\frac{r^\prime}{\sqrt{2}}\cdot\vektor{1\\-1\\0}\cdot sin\phi[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Do 07.05.2015 | | Autor: | hase-hh |
> eine mögliche Parameterdarstellung deines Schnittkreises
> wäre
>
> [mm]\vec{x}=\vec{m}^\prime+\frac{r^\prime}{\sqrt{6}}\cdot\vektor{1\\1\\-2}\cdot cos\phi+\frac{r^\prime}{\sqrt{2}}\cdot\vektor{1\\-1\\0}\cdot sin\phi[/mm]
Aha! Und wie kommt man darauf?
Also meine Überlegung war ja, dass ein Kreis nur zwei Koordinaten hat, und eine Kugel drei...
??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:02 Fr 08.05.2015 | | Autor: | weduwe |
> > eine mögliche Parameterdarstellung deines Schnittkreises
> > wäre
> >
> >
> [mm]\vec{x}=\vec{m}^\prime+\frac{r^\prime}{\sqrt{6}}\cdot\vektor{1\\1\\-2}\cdot cos\phi+\frac{r^\prime}{\sqrt{2}}\cdot\vektor{1\\-1\\0}\cdot sin\phi[/mm]
>
> Aha! Und wie kommt man darauf?
>
> Also meine Überlegung war ja, dass ein Kreis nur zwei
> Korrdinaten hat, und eine Kugel drei...
>
> ??
die Parameterdarstellung eines Kreises in der xy-Ebene lautet
[mm] x=x_m+r\cdot cos\phi
[/mm]
[mm] y=y_m+r\cdot sin\phi
[/mm]
in Vektorform
[mm] \vec{x}=\vec{m}+r\cdot\vektor{1\\0}\cdot cos\phi+r\cdot\vektor{0\\1}\cdot sin\phi
[/mm]
analog findest du die Parameterform eines Kreises in einer beliebigen Ebene E:
bestimme den Mittelpunkt M und r.
wähle einen beliebigen Einheitsvektor senkrecht auf den Normalenvektor von E und einen weiteren (über das Kreuzprodukt), der auf die beiden anderen senkrecht steht, fertig ist der Zauber, siehe oben
ok?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Fr 08.05.2015 | | Autor: | hase-hh |
Ich hab eine weitere Frage.
Ich habe im Internet gelesen, dass man die Schnittkreisgleichung bestimmen kann, indem man die Ebene (Koordinatenform) nach einer Variablen auflöst und das dann in die "Schnittkugelgleichung" einsetzt.
Ist das möglich?
Wenn ich das mache, d.h. z.b. nach z auflöse:
z = -x -y +4
dann bekomme ich doch plötzlich (jedenfalls hier) Summanden mit x*y, was ja nun auch kein wirklich einfaches Ergebnis ist. Oder nicht???
(x [mm] -\bruch{5}{3})^2 [/mm] + (y [mm] -\bruch{5}{3})^2 [/mm] + (z [mm] -\bruch{2}{3})^2 [/mm] = 32,49
Nebenrechnung
(z [mm] -\bruch{2}{3})^2
[/mm]
(-x-y+4 [mm] -\bruch{2}{3})^2
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] +xy [mm] -\bruch{10}{3}x [/mm] +xy [mm] +y^2 [/mm] - [mm] \bruch{10}{3}y -\bruch{10}{3}x [/mm] - [mm] \bruch{10}{3}y [/mm] + [mm] \bruch{100}{9}
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] +2xy [mm] -\bruch{20}{3}x +y^2 [/mm] - [mm] \bruch{20}{3}y [/mm] + [mm] \bruch{100}{9}
[/mm]
Bis auf die 2xy könnte ich ja alles auf die anderen beiden Komonenten aufteilen... aber was mache ich mit den 2xy???
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Hallo hase-hh,
> Ich hab eine weitere Frage.
>
> Ich habe im Internet gelesen, dass man die
> Schnittkreisgleichung bestimmen kann, indem man die Ebene
> (Koordinatenform) nach einer Variablen auflöst und das
> dann in die "Schnittkugelgleichung" einsetzt.
>
> Ist das möglich?
>
Sicher ist das möglich.
> Wenn ich das mache, d.h. z.b. nach z auflöse:
>
> z = -x -y +4
>
> dann bekomme ich doch plötzlich (jedenfalls hier)
> Summanden mit x*y, was ja nun auch kein wirklich einfaches
> Ergebnis ist. Oder nicht???
>
> (x [mm]-\bruch{5}{3})^2[/mm] + (y [mm]-\bruch{5}{3})^2[/mm] + (z
> [mm]-\bruch{2}{3})^2[/mm] = 32,49
>
> Nebenrechnung
>
> (z [mm]-\bruch{2}{3})^2[/mm]
>
> (-x-y+4 [mm]-\bruch{2}{3})^2[/mm]
>
> [mm]x^2[/mm] +xy [mm]-\bruch{10}{3}x[/mm] +xy [mm]+y^2[/mm] - [mm]\bruch{10}{3}y -\bruch{10}{3}x[/mm]
> - [mm]\bruch{10}{3}y[/mm] + [mm]\bruch{100}{9}[/mm]
>
> [mm]x^2[/mm] +2xy [mm]-\bruch{20}{3}x +y^2[/mm] - [mm]\bruch{20}{3}y[/mm] +
> [mm]\bruch{100}{9}[/mm]
>
> Bis auf die 2xy könnte ich ja alles auf die anderen beiden
> Komonenten aufteilen... aber was mache ich mit den 2xy???
Um dieses gemischtquadratische Glied zu eliminieren,
ist eine Transformation durchzuführen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Sa 09.05.2015 | | Autor: | hase-hh |
Moin Moin,
> Um dieses gemischtquadratische Glied zu eliminieren,
> ist eine Transformation durchzuführen.
Ist eine solche Transformation mit Schulwissen (etwas über das Abiturwissen hinausgehend) machbar?
Danke & Gruß!
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Eine Gleichung in [mm]x,y[/mm] stellt eine implizite Kurve in der [mm]xy[/mm]-Ebene dar, keineswegs einen Kreis im Raum. Um Quadriken, das sind die Nullstellengebilde quadratischer Formen, zu überblicken, führt man die sogenannte ![[]](/images/popup.gif) Hauptachsentransformation durch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Fr 08.05.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo hase
du willst nicht hören. ein Kreis in 3 d muss natürlich 3 Koordinaten haben! ebenso wie eine Gerade, wenn du etwa das einfachste, einen Kreis in der x-y- ebene um (0,0,0) beschreiben willst, dann kannst du natürlich [mm] x^2+y^2=r^2 [/mm] hinschreiben, wenn jetzt z beliebig ist hast du einen Zylinder beschrieben, also eine fläche, wenn du den Kreis in der x-y Ebene willst, musst du zusatzlich dazu schreiben z=0 wenn du z=7 dazuschreibst ist es ein kreis in der zur x-y Ebene parallelen eben. d.h du musst endlich begreifen, dass du etwas im Raum nicht mit 2 Koordinaten beschreiben kannst, was dir schon ofter gesagt wurde.
was du jetzt hast ist der Zusammenhang zwischen x und y, wenn du außer dem noch sagst dass sie in der Ebene z=-x-y+4 liegen, schreibst du allerdings z=0 dazu hast du eine Ellipse, die Projektion deines Kreises in die x-y-Ebene
was du hast ist in 2d eine Ellipse, deren Achsen nicht parallel zur x oder y- Achse ist, dadurch das xy Glied!
Also glaub vielleicht einfach dass man in 3 d eben 3 Koordinaten braucht. wie soll man denn deiner Gleichung am Ende ansehen, wo im Raum dieser "Kreis" liegt
auch Geraden im Raum kannst du durch den Schnitt von 2 Ebenen in Koordinatenform beschreiben, aber eben durch die 2 ebenen, wenn du z eliminierst, musst du eine der ebenen dazu schreiben, um die Gerade zu beschreiben !
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 Sa 09.05.2015 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
ich versuche hier nur etwas zu verstehen, eine aufgeworfene Frage zu klären.
Also, d.h. ich kann einer Gleichung [mm] [\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{m_1 \\ m_2 \\ m_3} ]^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm] nicht ansehen, ob es sich um eine Kreisgleichung oder eine Kugelgleichung handelt?
Es kann sich also folglich sowohl um einen Kreis als auch um eine Kugel handeln, je nach Zusammenhang?
Gruß
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Diese Gleichung ist eine Kugelgleichung, und mit einer Koordinate weniger ist es eine Kreisgleichung, allerdings nur im Zweidimensionalen. Daß es im Dreidimensionalen nicht möglich ist, einen Kreis mit Hilfe einer einzigen Koordinatengleichung zu beschreiben, wurde dir ja schon gesagt. Um einen Kreis im Raum zu beschreiben, brauchst du zwei Koordinatengleichungen, zum Beispiel eine Kugelgleichung kombiniert mit einer Ebenengleichung. Oder du mußt den Kreis mit Hilfe eines Parameters beschreiben. Aber auch das wurde weiter oben schon ausgeführt.
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