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| Aufgabe | Schnittgerade von folgenden Ebenengleichungen:
E1: 3x1 - 4x2 + x3 = 1
E2: 5x1 + 2x2 - 3x3 = 6 |
Ich hab so meine Probleme mit Schnittgeraden bei zwei Koordinatenformen. Ich moechte das endlich verstehen.. also so bin ich vorgegangen:
Ich hab das bisher immer so verstanden: Eine Koordinate einfach t oder k oder was auch immer nennen, also sei bei der Aufgabe x3 = t.
Danach loese ich die erste Gleichung nach x1 auf:
3x1 - 4x2 + t = 1
<=> 3x1 = 1 - t +4x2 <=> x1 = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}t [/mm] + [mm] \bruch{4}{3}x2
[/mm]
So das setze ich dann in die zweite Gleichung ein:
5 * [mm] (\bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}t [/mm] + [mm] \bruch{4}{3}x2) [/mm] +2x2 -3t = 0
<=> x2 = [mm] \bruch{13}{36} [/mm] + [mm] \bruch{17}{8}t
[/mm]
So das wieder zurueck in x1 (einsetzen):
x1 = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}t [/mm] + [mm] \bruch{4}{3} [/mm] * [mm] (\bruch{13}{36} [/mm] + [mm] \bruch{7}{18} [/mm] t)
<=>
x1 = [mm] \bruch{22}{27} [/mm] + [mm] \bruch{5}{27}t
[/mm]
=> x = [mm] \begin{pmatrix} \bruch{22}{27} \\ \bruch{13}{36} \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + t * [mm] \begin{pmatrix} \bruch{5}{27} \\ \bruch{7}{18} \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Das ganze sieht ja relativ beschissen aus um es mal kurz zu sagen. Brueche und alles scheint irgendwie "falsch" sein. Im Buch steht folgendes Ergebnis:
x = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0,5 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] t*\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 13 \end{pmatrix}
[/mm]
Meine Frage ist nun: Sind beide Gerade trotzdem gleich? Falls ja: Warum? Schließlich sind es komplett andere zahlen. Im buch haben die fuer x3 = 13t gewaehlt... dadurch sieht das ganze huebscher aus. Vielleicht kann mir einer mal erklaeren wie ich am besten an so eine Aufgabe dran gehe um sie moeglichst schoen zu loesen und ob man Ergebniss dennoch richtig ist. Dann weiß ich wenigstens schonmal das meine anfaenglichen Ueberlegungen richtig sind.
Danke im voraus! Tim
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:11 Fr 13.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Tim
> Schnittgerade von folgenden Ebenengleichungen:
>
> E1: 3x1 - 4x2 + x3 = 1
> E2: 5x1 + 2x2 - 3x3 = 6
> Ich hab so meine Probleme mit Schnittgeraden bei zwei
> Koordinatenformen. Ich moechte das endlich verstehen.. also
> so bin ich vorgegangen:
>
> Ich hab das bisher immer so verstanden: Eine Koordinate
> einfach t oder k oder was auch immer nennen, also sei bei
> der Aufgabe x3 = t.
>
> Danach loese ich die erste Gleichung nach x1 auf:
>
> 3x1 - 4x2 + t = 1
> <=> 3x1 = 1 - t +4x2 <=> x1 = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] - [mm]\bruch{1}{3}t[/mm]
> + [mm]\bruch{4}{3}x2[/mm]
>
> So das setze ich dann in die zweite Gleichung ein:
>
> 5 * [mm](\bruch{1}{3}[/mm] - [mm]\bruch{1}{3}t[/mm] + [mm]\bruch{4}{3}x2)[/mm] +2x2
> -3t = 0
falsch =6 nicht =0
> <=> x2 = [mm]\bruch{13}{36}[/mm] + [mm]\bruch{17}{8}t[/mm]
da hast du dich verrechnet.
ich bekomme 26/3*x2 =20/3*t+14/3 raus
also x2=10/13*t+7/13
aber rechne nochmal nach!
Aber deine Rechnung ist auch unnoetig kompliziert:
1) 3x1 - 4x2 + x3 = 1
2) 5x1 + 2x2 - 3x3 = 6
2. Gl mit 2 multiplizieren und zur 1. addieren :
3x1 - 4x2 + x3 = 1
10x1 + 4x2 - 6x3 = 12
--------------------
13x1-5x3=13 daraus x1=5/13x3+1 jetztsiehst du, dass es guenstig ist x3=13t zu nehmen
dann ist x1=5t+1, dann x2 durch einsetzen ausrechnen.
Diese "Additionsmethode um Gleichungen mit mehreren Unbekannten zu loesen ist meistens schoener und weniger Fehleranfaellig als deine methode.
Du haettest auch die erste Gleichung mit 5, die zweite mit (-3) multiplizieren koennen, und wieder addieren, dann haettest du x1 los und nur noch x2 und x3.
> So das wieder zurueck in x1 (einsetzen):
> x1 = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] - [mm]\bruch{1}{3}t[/mm] + [mm]\bruch{4}{3}[/mm] *
> [mm](\bruch{13}{36}[/mm] + [mm]\bruch{7}{18}[/mm] t)
> <=>
> x1 = [mm]\bruch{22}{27}[/mm] + [mm]\bruch{5}{27}t[/mm]
>
> => x = [mm]\begin{pmatrix} \bruch{22}{27} \\ \bruch{13}{36} \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> + t * [mm]\begin{pmatrix} \bruch{5}{27} \\ \bruch{7}{18} \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Das ganze sieht ja relativ beschissen aus um es mal kurz zu
> sagen. Brueche und alles scheint irgendwie "falsch" sein.
> Im Buch steht folgendes Ergebnis:
>
> x = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0,5 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] +
> [mm]t*\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 13 \end{pmatrix}[/mm]
> Meine Frage ist nun: Sind beide Gerade trotzdem gleich?
wenn du statt t=27t' nimmst, siehst du dass die erste komponente 5 wird, die anderen stimmen dann aber nicht mit der anderen Loesung ueberein, also sinds nicht dieselben Geraden! Der Richtungsvektor muss dieselbe Richtung haben, darf also nur ein Vielfaches des anderen sein.
Gruss leduart
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Hi.
Vielen vielen dank erstmal: Jetzt hab ich verstanden wie die das im Buch mit dieser Addition machen... ich stand da immer vor und hab nur Bahnhof verstanden, wie die nun die Zwischenschritte gestalten.
Eine Frage bleibt aber: Ich hab x1 ausgerechnet und dein Ergebnis rausbekommen und dann in die 2. Gleichung eingesetzt (weil bei der addierten ja kein x2 mehr vorhanden war) ... so dann bekam ich folgendes raus:
x2 = -1 + 7t
Im Buch steht aber da solle:
x2 = 0,5 + 7t rauskommen
Ich finde bei mir aber keinen Rechenfehler. Konntest du vll nochmal nachrechnen?
Danke im voraus.
Tim
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Fr 13.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
$x1=5t+1; x3=13t $
2.Gl nach x2 umgestellt:
$2x2=6+3x3-5x1$
$2x2=6+3*13t-5*5t-5$
$2x2=1+14t$
Damit du auch die Additionsmethode uebst:
1.Gl *(-5), 2.gl *3
$-15x1+20x2-5x3=-5$
$ 15x1+ 6x2-9x3=18$
------------------
$ 26x2-14x3=13$
$ 26x2=13+14*13t$
du siehst auch hier weniger Fehlermoeglichkeiten als beim Einsetzen.
Gruss leduart
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