Schnittgerade zweier Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Mo 22.02.2010 | | Autor: | fac3l3ss |
| Aufgabe | Gegeben sind zwei Ebenen, die Ebene E und die Ebene E*
E liegt in Koordinaten und Parameterform vor: E: y-z=0 und E: [mm] x=\vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + r [mm] \vektor{6 \\ 0 \\ 0} [/mm] + s [mm] \vektor{6 \\ 6 \\ 6}
[/mm]
E* liegt nur in Koordinatenform vor: E: x-z=0
Bestimmen sie die Schnittgerade der beiden Ebenen. |
Ich habe ein Ergebnis welches mir jedoch falsch zu sein scheint, wäre sehr dankbar wenn jemand Korrigieren könnte:
Ich habe zuerst die x Koordinaten der Parameterform zu x=6r+6s ungeformt, anschließend die z Koordinaten zu z=6s.
x und z habe ich in die Gleichung von E* eingesetzt, also 6r+6s-6s und so die Gerade g: x= [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}+r\vektor{6 \\ 6 \\ 6} [/mm] erhalten.
Aus meiner Zeichnung glaube ich jedoch zu erkennen, dass die Schnittgerade die x-Achse ist. Ich kann absolut keinen Fehler finden :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
deine gesamte Rechnung ist richtig. Dieselbe Lösung erhältst du auch, wenn du von den beiden Koordinatenformen ausgehst:
Aus dem Gleichungssystem für die Punkte (x,y,z):
x - z = 0
y - z = 0
folgt x = z und y = z, also x = y = z.
Das heißt, alle Punkte, bei welchen alle drei Koordinaten gleich sind, erfüllen das Gleichungssystem, liegen also auf beiden Ebenen.
Das sind gerade die Vielfachen des Vektors [mm] \vektor{1\\1\\1}.
[/mm]
Wo liegt nun dein Fehler: Bei der Interpretation des Vektors! Die Gerade
[mm] $g:=\vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] + [mm] r*\vektor{1\\1\\1}$
[/mm]
ist nicht die x-Achse, sondern eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung und den Punkt (1,1,1) geht!
Die x-Achse in Parameterdarstellung wäre:
[mm] $g:=\vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] + [mm] r*\vektor{1\\0\\0}$
[/mm]
(Der Richtungsvektor zeigt nur in die x-Richtung)
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Mo 22.02.2010 | | Autor: | fac3l3ss |
Vielen Dank!
Es beruhigt mich ja, dass die Rechnung richtig ist, jedoch muss ich dann iwie nicht in der Lage sein die Ebenen zu zeichnen.
Dass das Ergebnis nicht die x-Achste ist, ist mir bewusst, daher meine Verwunderung, da ich dachte die Schnittgerade der Ebenen sei die x-Achse.
Gehe ich nicht richtig in der Annahme dass die x-Achse auf der ersten Ebene liegt?
Wie sieht dann die Ebene E* aus?
Die Koordinatenform der beidenen Ebenen verwirrt mich gerade zugegebener maßen, da entweder y oder x fehlt.
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Hallo,
> Gehe ich nicht richtig in der Annahme dass die x-Achse auf
> der ersten Ebene liegt?
Richtig. Es ist
$E: y -z = 0$
"gleichungstechnisch gesehen" dasselbe wie $y = z$.
Es liegen also alle Punkte auf der Ebene, für welche die y - gleich der z - Koordinate ist.
Insbesondere liegen also alle Punkte auf der Ebene, die die Form (x,0,0) haben - die x-Achse.
Manchmal kann man sich die Ebene leichter vorstellen, wenn man weiß, dass der Normalenvektor einer Ebene der Form $a*x+b*y+c*z = d$ ja die Form [mm] \vektor{a\\b\\c} [/mm] hat. Bei der obigen Ebene, die ja die Form
$E: 0*x + 1*y - 1*z = 0$
hat, ist der Normalenvektor als [mm] \vektor{0\\1\\-1}.
[/mm]
Daran, dass der Normalenvektor bei der x-Koordinate eine 0 hat, erkennst du, dass er nur (graphisch gesehen) nur nach "oben und unten" (z) bzw. nach "vorn und hinten" (y) zeigt, nicht aber nach "links und rechts" (x). Die Ebene muss also irgendwie parallel zur x-Achse geneigt sein und um die x-Achse gehen.
Wie genau die Ebene nun geneigt ist, kannst du daran erkennen, wenn du dir mal ein paar erlaubte Punkte aufschreibst:
(x,0,0)
(x,1,1)
(x,2,2)
und dann jeweils in x-Richtung Geraden durchziehst, weil x ja jeden Wert annehmen darf.
> Wie sieht dann die Ebene E* aus?
> Die Koordinatenform der beidenen Ebenen verwirrt mich
> gerade zugegebener maßen, da entweder y oder x fehlt.
Bei der zweiten Ebenengleichung ist es:
[mm] $E^{*}: [/mm] x-z = 0$,
also x - Koordinate = z - Koordinate. y ist egal.
Hier liegt also die y-Achse auf der Ebene, und die Ebene ist parallel zur y-Achse geneigt.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 Mo 22.02.2010 | | Autor: | fac3l3ss |
Danke! Habe jetzt meinen Denkfehler gefunden.
E* habe ich erhalten als ich E an einer Ebene F gespiegelt habe.
Habe irrtümlicher Weise angenommen diese Ebene F sei die x-y-Ebene, dem ist aber nicht so.
Gut dass ich mit der gegeben Koordinatenform von E* weitergerechnet habe.
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