Schnittgerade zweier Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich möchte bis heute abend die Schnittgerade dieser beiden Ebenen errechnen und komme leider nicht weiter...
[mm] E_{1} [/mm] : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 90 \\ 110 \\ 70 \end{pmatrix} [/mm] + r [mm] \begin{pmatrix} -4 \\ -8 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] + s [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] E_{2} [/mm] : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 110 \\ 30 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + t [mm] \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + u [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 90 \\ 110 \\ 70 \end{pmatrix} [/mm] + r [mm] \begin{pmatrix} -4 \\ -8 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] + s [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 110 \\ 30 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + t [mm] \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + u [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm]
r [mm] \begin{pmatrix} -4 \\ -8 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] + s [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm] + t [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + u [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 20 \\ -80 \\ -70 \end{pmatrix} [/mm]
Nun löse ich das ganze in 3 Gleichungen auf:
1) - 4r - s + 4t - u = 20
2) - 8r - s + t - u = - 80
3) - r - 3s - 3 u = - 70
--------------------------------
GL 1) - 2) = 4)
--------------------------------
4) 4r + 3t = 100
t= 33 [mm]\bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \bruch{4}{3} [/mm] r
nun wähle ich r = 3
=> t= 29 [mm]\bruch{1}{3} [/mm]
Ich habe keine Ahnung wie ich nun weiter die Parameter s und u bestimmen soll, oder was ich sonst machen soll....
Ich habe außerdem schon den Richtungsvektor der Schnittgerade bestimmt, indem ich das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) der beiden [mm]\vec{n}[/mm] der Ebenen bestimmt habe.
Hier meine Erkenntnisse:
Durch Bildung des Kreuzproduktes der Richtungsvektoren der Ebene 1 und Reduzierung:
[mm]\vec{n_{1}}[/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 23 \\ -11 \\ -4 \end{pmatrix} [/mm]
Durch Bildung des Kreuzproduktes der Richtungsvektoren der Ebene 2 und Reduzierung:
[mm]\vec{n_{2}}[/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 23 \\ -11 \\ -4 \end{pmatrix} [/mm] X [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 27 \\ 27 \\ 81 \end{pmatrix} [/mm] => Richtungsvektor der Schnittgerade: [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm]
Ich hoffe mir kann jemand möglichst schnell auf die Sprünge helfen, wie ich den Ortsvektor bestimmen kann, denn ich schreibe leider schon morgen Abi :-/
Ich werd mich auch gleich mal umsehen, wem ich noch so helfen kann 
Gruß
Daniel
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 So 01.05.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Daniel.85,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Danke für die hervorragende Darstellung deines Rechenweges 
> Ich möchte bis heute abend die Schnittgerade dieser beiden
> Ebenen errechnen und komme leider nicht weiter...
>
> [mm]E_{1}[/mm] : [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 90 \\ 110 \\ 70 \end{pmatrix}[/mm]
> + r [mm]\begin{pmatrix} -4 \\ -8 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] + s
> [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]E_{2}[/mm] : [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 110 \\ 30 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> + t [mm]\begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + u
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
Interessante Beobachtung: Die jeweils 2. Richtungsvektoren der Ebenen sind linear abhängig, d.h., falls es eine Schnittgerade gibt, ist sie auf jeden Fall parallel zu diesen Richtungsvektoren (und das hast du unten ja auch auch herausbekommen). Dieses Wissen benutze ich jetzt hier aber mal nicht.
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 90 \\ 110 \\ 70 \end{pmatrix}[/mm] + r
> [mm]\begin{pmatrix} -4 \\ -8 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] + s
> [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 110 \\ 30 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + t
> [mm]\begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + u
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> r [mm]\begin{pmatrix} -4 \\ -8 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] + s
> [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}[/mm] + t
> [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + u
> [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 20 \\ -80 \\ -70 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Nun löse ich das ganze in 3 Gleichungen auf:
>
> 1) - 4r - s + 4t - u = 20
> 2) - 8r - s + t - u = - 80
> 3) - r - 3s - 3 u = - 70
> --------------------------------
> GL 1) - 2) = 4)
> --------------------------------
> 4) 4r + 3t = 100
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ansatz und Rechnung stimmen bis hierher.
> t= 33 [mm]\bruch{1}{3}[/mm] - [mm]\bruch{4}{3}[/mm] r
> nun wähle ich r = 3
Warum?
Das Ziel des Gleichsetzens zweier Ebenen-Parametergleichungen ist doch, eine alleinige Abhängigkeit zwischen zwei Parametern einer Ebene herzustellen, also eine Gleichung zu finden, in der nur die beiden Parameter einer einzigen Ebene enthalten sind (oder auch nur ein Parameter). An diesem Ziel bist du hier noch nicht ganz angelangt, so würde es weiter gehen:
Eliminiere in der Gleichung III ebenfalls das u, indem du 3*I+III rechnest. Du erhältst so die Gleichung V, die nur noch die Parameter r,s,t enthält.
Nun kannst du deine Gleichung IV benutzen, um in V den Parameter t zu eliminieren. Übrig bleiben so in einer Gleichung VI nur die Parameter r und s, die beide zur ersten Ebene gehören.
Löse diese Gleichung VI nun nach s auf, und setze die so gefundene Darstellung von s in die zugehörige Ebene ein; du erhältst eine Parameterform, die nur noch einen einzigen Parameter enthält: Eine Gerade also, die die gesuchte Schnittgerade darstellen muß.
> => t= 29 [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Ich habe keine Ahnung wie ich nun weiter die Parameter s
> und u bestimmen soll, oder was ich sonst machen soll....
Wie oben gesagt, das Ziel deiner Umformungen muß sein, die Parameter einer Ebene in Abhängigkeit zu bringen.
> Ich habe außerdem schon den Richtungsvektor der
> Schnittgerade bestimmt, indem ich das Vektorprodukt
> (Kreuzprodukt) der beiden [mm]\vec{n}[/mm] der Ebenen bestimmt
> habe.
>
> Hier meine Erkenntnisse:
>
> Durch Bildung des Kreuzproduktes der Richtungsvektoren der
> Ebene 1 und Reduzierung:
> [mm]\vec{n_{1}}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 23 \\ -11 \\ -4 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Durch Bildung des Kreuzproduktes der Richtungsvektoren der
> Ebene 2 und Reduzierung:
> [mm]\vec{n_{2}}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix} 23 \\ -11 \\ -4 \end{pmatrix}[/mm] X
> [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 27 \\ 27 \\ 81 \end{pmatrix}[/mm] =>
> Richtungsvektor der Schnittgerade: [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
Diese separate Berechnung des Richtungsvektors ist nun überflüssig, da wir oben ja bereits die fertige Darstellung der Schnittgerade erhalten haben.
> Ich hoffe mir kann jemand möglichst schnell auf die Sprünge
> helfen, wie ich den Ortsvektor bestimmen kann, denn ich
> schreibe leider schon morgen Abi :-/
Dann mal viel Erfolg!
> Ich werd mich auch gleich mal umsehen, wem ich noch so
> helfen kann
Wenn es dir nicht selbst weiter hilft, dich um Fragen anderer zu kümmern, konzentriere dich heute lieber auf deine eigenen Fragen
Viele Grüße,
Marc
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Ersteinmal vielen Dank für die schnelle Antwort!
Aber leider hab ich noch immer ein Problem :-/
>
> Eliminiere in der Gleichung III ebenfalls das u, indem du
> 3*I+III rechnest. Du erhältst so die Gleichung V, die nur
> noch die Parameter r,s,t enthält.
Ich erhalte folgende Gleichungen:
3*I: -12r - 3s + 12t - 3u = 60
III: - r - 3s - 3u = - 70
---------------------------------------
3*I - III = V
V: - 11r + 12t = 130
> Nun kannst du deine Gleichung IV benutzen, um in V den
> Parameter t zu eliminieren. Übrig bleiben so in einer
> Gleichung VI nur die Parameter r und s, die beide zur
> ersten Ebene gehören.
Und was mach ich, wenn zufällig der Parameter s schon rausgefallen ist, wie in diesem Fall?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 So 01.05.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Daniel,
> Ersteinmal vielen Dank für die schnelle Antwort!
> Aber leider hab ich noch immer ein Problem :-/
>
> >
> > Eliminiere in der Gleichung III ebenfalls das u, indem du
> > 3*I+III rechnest. Du erhältst so die Gleichung V, die nur
> > noch die Parameter r,s,t enthält.
>
> Ich erhalte folgende Gleichungen:
>
> 3*I: -12r - 3s + 12t - 3u = 60
> III: - r - 3s - 3u = - 70
> ---------------------------------------
> 3*I - III = V
> V: - 11r + 12t = 130
>
>
> > Nun kannst du deine Gleichung IV benutzen, um in V den
> > Parameter t zu eliminieren. Übrig bleiben so in einer
> > Gleichung VI nur die Parameter r und s, die beide zur
> > ersten Ebene gehören.
>
> Und was mach ich, wenn zufällig der Parameter s schon
> rausgefallen ist, wie in diesem Fall?
Stur weiterrechnen (diesen Fall hatte ich übrigens in meiner vorherigen Antwort angekündigt...)
Wir haben jetzt:
IV: 4r+3t=100
V: -11r+12t=130
Nun kannst du das t eliminieren, übrig bleibt dann eine Gleichung, die nur noch r enthält (zum Vergleich: r=10).
Dieses r setzt du nun in [mm] E_1 [/mm] ein, und erhältst doch wie gewünscht eine Gleichung mit nur einem Parameter (nämlich s). Dies ist die Parameterform der gesuchten Gerade.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 So 01.05.2005 | | Autor: | Daniel.85 |
Alles klar, vielen Dank für die Hilfe, ich hoffe ich kann die Schnittgrade von anderen Ebenen nach diesem Weg ebenfalls bestimmen - jetzt kann ich nur hoffen, dass Morgen alles gut geht :)
Ich guck mir mal die Abiaufgaben hier im Forum an - übrigens mal ein echt gut laufendes und übersichtlich aufgebautes Matheforum :)
MfG
Daniel
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