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Hey Leute
ich hoffe ihr könnt mir helfen hab morgen abi und hab heut noch mal meine Aufgaben gerechnet und weiß an einer Stelle nicht weiter!
Meine Aufgabe: ich habe eine Kugel [mm] K:(\vec{x})^2=45 [/mm] und die zwei Punkte A(9;-15;18) und B(-3;15;-6). Als erstes sollte ich die Schnittpunkte der [mm] Geraden\overline{AB} [/mm] mit der KUgel berechnen, die hab ich, die lauten:
[mm] x_1=\bruch{1}{3}* \vektor{1 \\ 20 \\ 2}
[/mm]
[mm] x_2= \vektor{3 \\ 0 \\ 6}
[/mm]
Nun soll ich noch die Schnittgerade der beiden Tangentialebenen dieser beiden PUnkte berechnen und da ist mein Problem:
Ich habe als erstes die beiden Tangentialebenen Gleichungen aufgestellt:
[mm] T_1:\bruch{1}{3}* \vektor{1 \\ 20 \\ 2}*\vec{x}=45
[/mm]
[mm] T_2:\vektor{3 \\ 0 \\ 6}*\vec{x}=45
[/mm]
So und nun weiß ich nicht weiter, ich weiß nur wie ich die Schnittgerade zweier Ebenen berechne, wenn mindestens eine von ihnen in Parameterform gegeben ist!
Irgendwie haben wir mal im Unterricht versucht eine Ebene dann in Parameterform umzuwandeln irgendwie haben wir gesagt:
[mm] \bruch{1}{3}*(x_1+20*x_2+2*x_3)=45
[/mm]
dann haben wir mit 3 multipliziert und haben ausprobiert(glaub ich) welche werte diese Gleichung erfüllen.
Es ergab sich:
[mm] x_1=1 x_2=6 x_3=7
[/mm]
wir haben dann die Tangentengleichung in Parameterform so aufgestellt:
[mm] T_1: \vec{x}= \vektor{1 \\ 6 \\ 7}+\lambda* \vektor{2 \\ 0 \\ -1}+\mu* \vektor{20 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
Aber wie komme ich auf die beiden Richtungsvektoren?? Hilfe!!
Gruß
Christina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christina
> ich hoffe ihr könnt mir helfen hab morgen abi
Ich wünsche dir viel Erfolg! ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
>
> [mm]T_1:\bruch{1}{3}* \vektor{1 \\ 20 \\ 2}*\vec{x}=45[/mm]
>
> [mm]T_2:\vektor{3 \\ 0 \\ 6}*\vec{x}=45[/mm]
>
> So und nun weiß ich nicht weiter, ich weiß nur wie ich die
> Schnittgerade zweier Ebenen berechne, wenn mindestens eine
> von ihnen in Parameterform gegeben ist!
> Irgendwie haben wir mal im Unterricht versucht eine Ebene
> dann in Parameterform umzuwandeln irgendwie haben wir
> gesagt:
>
> [mm]\bruch{1}{3}*(x_1+20*x_2+2*x_3)=45[/mm]
> dann haben wir mit 3 multipliziert und haben
> ausprobiert(glaub ich) welche werte diese Gleichung
> erfüllen.
Gut, aber ausprobieren tönt für mich immer etwas unsicher, aufs Glück vertrauend.
Man kann folgende Methode anwenden:
Setze einfach für [mm] $x_2$ [/mm] und [mm] $x_3$ [/mm] den Wert $0_$ ein und berechne daraus [mm] $x_1$, [/mm] also
[mm] $x_1+20*0+2*0=135$
[/mm]
Das ergibt sofort [mm] $x_1=135 \, x_2=0 \, x_3=0$
[/mm]
> Es ergab sich:
> [mm]x_1=1 x_2=6 x_3=7[/mm]
>
> wir haben dann die Tangentengleichung in Parameterform so
> aufgestellt:
> [mm]T_1: \vec{x}= \vektor{1 \\ 6 \\ 7}+\lambda* \vektor{2 \\ 0 \\ -1}+\mu* \vektor{20 \\ -1 \\ 0}[/mm]
>
> Aber wie komme ich auf die beiden Richtungsvektoren??
> Hilfe!!
Da gehst du ganz einfach so vor: Du schreibst die Gleichung nochmals auf, aber rechts vom Gleichheitszeichen nimmst du $0_$ (homogenes Gleichungssystem):
[mm] $x_1+20x_2+2x_3=0$
[/mm]
Und nun setzt du für [mm] $x_2$ [/mm] den Wert $1_$ ein, und für [mm] $x_3$ [/mm] den Wert $0_$, und berechnest daraus [mm] $x_1$
[/mm]
Das ergibt:
[mm] $x_1+20*1+2*0=0$
[/mm]
[mm] $x_1=-20$
[/mm]
Der eine Richtungsvektor ist also [mm] $x_1=-20 \, x_2=1 \, x_3=0$
[/mm]
Das gleiche machst du noch, indem du [mm] $x_3$ [/mm] den Wert $1_$ gibst, und [mm] $x_2$ [/mm] den Wert $0_$:
[mm] $x_1+20*0+2*1=0$
[/mm]
[mm] $x_1=-2$
[/mm]
Der andere Richtungsvektor ist also [mm] $x_1=-2 \, x_2=0 \, x_3=1$
[/mm]
Du darfst dich nicht verwirren lasse, dass die Richtungsvektoren etwas anders aussehen als deine. Die Himmelsrichtung stimmt ja, sie sind einfach um 180° gedreht.
Auch der Stützpunkt ist an einem anderen Ort. Das spielt aber auch keine Rolle, es muss ja nur irgendeiner aus der Lösungsmenge sein. Wenn du bei deiner Lösung nämlich für [mm] $\lambda$ [/mm] den Wert $7_$ einsetzt, und für [mm] $\mu$ [/mm] den Wert $6_$, dann bist du genau bei meinem Punkt. 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 Mo 02.05.2005 | | Autor: | ChristinaB |
Hey danke Paul,
macht alles Sinn, hast mich grad gerettet, werd irgendwie nervös so kurz vorm abi...
Also danke schön!!!
Gruß Christina
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