Schnittegerade bestimmen. < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Ich möchte gerne die Schnittgerade von zwei Ebenen bestimmen.
[mm] $E_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 1\\1 \end{pmatrix}+ r_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 2\\1 \end{pmatrix} +s_1\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\\ -1\\1 \end{pmatrix} [/mm] $
und
[mm] $E_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\\ 0\\0 \end{pmatrix}+ s_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\\ 1\\1 \end{pmatrix} +s_2\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1\\ 2\\-1 \end{pmatrix} [/mm] $
. |
Meine Idee ist, ich setze die eben gleich und löse auf.
Daher
[mm] $E_1=E_2
[/mm]
[mm] \iff
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 1\\1 \end{pmatrix} +r_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 2\\1 \end{pmatrix} +s_1\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\\ -1\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\\ 0\\0 \end{pmatrix}+ r_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\\ 1\\1 \end{pmatrix} +s_2\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1\\ 2\\-1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \iff
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\\ 1\\1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] -r_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 2\\1 \end{pmatrix} -s_1\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\\ -1\\1 \end{pmatrix}+r_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\\ 1\\1 \end{pmatrix} +s_2\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1\\ 2\\-1 \end{pmatrix}
[/mm]
Das entspricht folgendes Lineare Gleichungssystem
[mm] \begin{pmatrix} -1&0&1&0 \\ -1&-1&1&-1 \\ -1&0&0&1\\ -2&-1&1&2\\-1&1&1&-1
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\\ 1\\1 \end{pmatrix}
[/mm]
$
Ich erhalte dann für
[mm] $r_1 =s_2=-s_1= [/mm] und [mm] r_2=0 [/mm] $ wie bestimme ich dann jetzt die Geraden ?
Viele Grüße
Nadia..
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Hallo Nadia..,
> Ich möchte gerne die Schnittgerade von zwei Ebenen
> bestimmen.
>
> [mm]E_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 1\\1 \end{pmatrix}+ r_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 2\\1 \end{pmatrix} +s_1\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\\ -1\\1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> und
> [mm]E_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\\ 0\\0 \end{pmatrix}+ s_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\\ 1\\1 \end{pmatrix} +s_2\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1\\ 2\\-1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> .
>
> Meine Idee ist, ich setze die eben gleich und löse auf.
>
> Daher
> [mm]$E_1=E_2[/mm]
> [mm]\iff[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 1\\1 \end{pmatrix} +r_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 2\\1 \end{pmatrix} +s_1\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\\ -1\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\\ 0\\0 \end{pmatrix}+ r_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\\ 1\\1 \end{pmatrix} +s_2\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1\\ 2\\-1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\iff[/mm]
>
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\\ 1\\1 \end{pmatrix}[/mm] = [mm]-r_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 2\\1 \end{pmatrix} -s_1\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\\ -1\\1 \end{pmatrix}+r_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\\ 1\\1 \end{pmatrix} +s_2\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1\\ 2\\-1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Das entspricht folgendes Lineare Gleichungssystem
>
> [mm]\begin{pmatrix} -1&0&1&0 \\ -1&-1&1&-1 \\ -1&0&0&1\\ -2&-1&1&2\\-1&1&1&-1
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\\ 1\\1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> $
Das entsprechende Gleiochungssystem muss doch so lauten:
[mm]\begin{pmatrix} -1&0&1&0 \\ -1&-1&1&-1 \\ -1&0&0&1\\ -2&\blue{+1}&1&2\\-1&\blue{-1}&1&-1
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\\ 1\\1 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Ich erhalte dann für
> [mm]r_1 =s_2=-s_1= und r_2=0[/mm] wie bestimme ich dann jetzt die
> Geraden ?
>
> Viele Grüße
>
> Nadia..
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Super Vielen Dank,
Mit dem Grußverfahren erhalte ich dann:
$ [mm] \begin{pmatrix} -1&0&1&0 \\ 0&-1&0&-1 \\ -1&0&0&1 \\
0&0&-1&1\\0&0&0&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\\ -1\\0
\end{pmatrix} [/mm] $
Ich erhalte dann, [mm] $r_2=1+s_2,s_2=r_1,s_2=-s_1,r_1=-1+s_2 [/mm] $
Viele Grüße
Nadia.. |
Wie bestimme ich jetzt endlich die Schnittgerade?
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Hallo Nadia..,
> Super Vielen Dank,
> Mit dem Grußverfahren erhalte ich dann:
>
>
> $ [mm]\begin{pmatrix} -1&0&1&0 \\ 0&-1&0&-1 \\ -1&0&0&1 \\
0&0&-1&1\\0&0&0&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\\ -1\\0
\end{pmatrix}[/mm]
> $
>
> Ich erhalte dann, [mm]r_2=1+s_2,s_2=r_1,s_2=-s_1,r_1=-1+s_2[/mm]
>
> Viele Grüße
>
> Nadia..
>
> Wie bestimme ich jetzt endlich die Schnittgerade?
>
Setze die erhaltenen Parameter in eine der Ebenengleichung ein.
Gruss
MathePower
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