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Hallo zusammen, bei einer Aufgabe hänge ich an folgendem Problem:
3 Ideale [mm] I_1 [/mm] = [mm] , I_2 [/mm] = [mm] [/mm] und [mm] I_3 [/mm] = [mm] [/mm] dabei sind [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] Unbestimmte!
Nun soll der Schnitt der Ideale berechnet werden...
Soweit ich rausgefunden habe ist der Schnitt von Idealen das kgV der Ideale...
Jedoch komm ich damit nicht weiter! Kann mir vielleicht jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 Do 26.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hallo zusammen, bei einer Aufgabe hänge ich an folgendem
> Problem:
> 3 Ideale [mm]I_1[/mm] = [mm], I_2[/mm] = [mm][/mm] und [mm]I_3[/mm] =
> [mm][/mm] dabei sind [mm]X_1[/mm] und [mm]X_2[/mm] Unbestimmte!
Lass mich raten: es hat mit dieser Aufgabe zu tun?
> Nun soll der Schnitt der Ideale berechnet werden...
> Soweit ich rausgefunden habe ist der Schnitt von Idealen
> das kgV der Ideale...
Und wenn sie teilerfremd sind, dann ist das Produkt gleich dem Durchschnitt.
Z.B. ist $1 = [mm] X_1 [/mm] - [mm] (X_1 [/mm] - 1) [mm] \in I_1 [/mm] + [mm] I_2$, [/mm] womit [mm] $I_1$ [/mm] und [mm] $I_2$ [/mm] teilerfremd sind. Damit ist [mm] $I_1 \cap I_2 [/mm] = [mm] I_1 I_2$.
[/mm]
LG Felix
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Der Prof. hatte aber gemeint, dass die Ideale nicht teilerfremd seien...
warum zieht man Ideale voneinander ab um zu zeigen, dass sie teilerfremd sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Do 26.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Der Prof. hatte aber gemeint, dass die Ideale nicht
> teilerfremd seien...
Sind sie aber. Man sieht schnell, dass [mm] $I_1 \cap I_2 [/mm] + [mm] I_3 [/mm] = [mm] K[x_1, x_2]$ [/mm] ist.
> warum zieht man Ideale voneinander ab um zu zeigen, dass
> sie teilerfremd sind?
Es gilt genau dann $I + J = [mm] K[x_1, x_2]$, [/mm] wenn es $i [mm] \in [/mm] I$ und $j [mm] \in [/mm] J$ gibt mit $i + j = 1$.
Ich habe [mm] $i_1 [/mm] = [mm] X_1 \in I_1$ [/mm] und [mm] $i_2 [/mm] = [mm] -(X_1 [/mm] - 1) [mm] \in I_2$ [/mm] angegeben mit [mm] $i_1 [/mm] + [mm] i_2 [/mm] = 1$, woraus [mm] $I_1 [/mm] + [mm] I_2 [/mm] = [mm] K[x_1, x_2]$ [/mm] folgt.
LG Felix
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