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Forum "Geraden und Ebenen" - Schnitt von Gerade + Ebene
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Schnitt von Gerade + Ebene: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:07 Mi 07.10.2009
Autor: low_head

Aufgabe
Durch [mm] 3x_{1}-2x_{2}+x_{3} [/mm] = 8 ist eine Ebene E1 gegeben. Die Punkte A(-5|4|-2) , B(-2|8|-3) und C(-6|5|3) liegen in einer Ebene E2. Des Weiteren ist eine Gerade g durch [mm] \overrightarrow{x}=\vektor{6 \\ -3 \\ -1}+t\vektor{-2 \\ 2 \\ 4} [/mm] gegeben.

Bestimme die Schnittpunkte [mm] S_{1} [/mm] und [mm] S_{2} [/mm] der Geraden g mit den Ebenen E1 und E2.

[mm] S_{1}: [/mm]

3(6-2t)-2(-3+2t)+1(-1+4t) =8

-> 18-6t+6-4t-1+4t = 8
-> -6t = -15
-> t = 2,5

Einsetzen von t in g:

[mm] \overrightarrow{x}=\vektor{6 \\ -3 \\ -1}+2,5\vektor{-2 \\ 2 \\ 4} [/mm]

[mm] \overrightarrow{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ 9} [/mm]

[mm] S_{1} [/mm] (1|2|9)



[mm] S_{2}: [/mm]

Mit den 3 Punkten die Parameterform aufstellen:

E2: [mm] \overrightarrow{x}=\vektor{5 \\ -4 \\ -2}+s\vektor{3 \\ 4 \\ -1}+t\vektor{-1 \\ 1 \\ 5} [/mm]

Umwandeln in die Koordinatenform um das Gauss-Verfahren zu umgehen, da ich das nicht gut kann >.<

Mit Kreuzprodukt oder dem 2ten Verfahren, der Name ist mir entfallen den Normalenvektor ausrechen: [mm] \vektor{3 \\ -2 \\ 1} [/mm]

d ausrechen:

[mm] \vektor{3 \\ -2 \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{5 \\ -4 \\ 2} [/mm] = 15+8+2 = 25

Koordinatenform: [mm] 3x_{1}-2x_{2}+x_{3} [/mm] = 25

Einstezen von g in die Koordinatenform:

3(6-2t)-2(-3+2t)+1(-1+4t) = 25

-> 18-6t+6-4t-1+4t = 25
-> -6t = 2
-> t = -1/3

Einsetzen von t in g:

[mm] \overrightarrow{x}=\vektor{6 \\ -3 \\ -1}-\bruch{1}{3}\vektor{-2 \\ 2 \\ 4} [/mm]

[mm] \overrightarrow{x}=\vektor{20/3 \\ -11/3 \\ -7/3} [/mm]

Aber ich glaub das ist falsch.. die Zahlen sind so komisch..

Liebe Grüße, low.

        
Bezug
Schnitt von Gerade + Ebene: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:11 Mi 07.10.2009
Autor: Loddar

Hallo low_head!


> [mm]S_{1}[/mm] (1|2|9)

[ok]


> d ausrechen:
>  
> [mm]\vektor{3 \\ -2 \\ 1}[/mm] * [mm]\vektor{5 \\ -4 \\ 2}[/mm] = 15+8+2 = 25

[notok] Hier hast Du beim 2. Vektor die Vorzeichen umgedreht. Es kommt heraus: $d \ = \ [mm] \red{-}25$ [/mm] .

Damit stimmt auch die weitere Rechnung nicht. Es ergeben sich nachher auch wirklich "glatte Werte" für den gesuchten Schnittpunkt.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Schnitt von Gerade + Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:25 Mi 07.10.2009
Autor: low_head

Für d muss ich ja einen Punkt der Ebene mit dem Normalenvektor multiplizieren.

Ich nehme meinen Stützpunkt A (-5|4|-2)

[mm] \vektor{-5 \\ 4 \\ -2}*\vektor{3 \\ -2 \\ 1}= [/mm] -15-8-2=-25

dann setzte ich g in die Koordinatenform ein und erhalten:

t=8

und dann t in g und erhalte

[mm] \overrightarrow{x}=\vektor{-10\\ 13\\31} [/mm]

richtig? >.<

Bezug
                        
Bezug
Schnitt von Gerade + Ebene: nun richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:25 Mi 07.10.2009
Autor: Loddar

Hallo low_head!


[ok] Das habe ich auch erhalten ...


Gruß
Loddar


Bezug
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