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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:46 Mi 09.04.2008 | | Autor: | vohigu |
| Aufgabe | Gegenen seien:
R={x [mm] \varepsilon \IR| [/mm] |x-1| <= 3} und S={x [mm] \varepsilon \IR| [/mm] |x-3| <= 3/2}
Geben Sie folgende Mengen an: S [mm] \cup [/mm] R, S [mm] \cap [/mm] R |
Wie man Mengen schneidet und vereinigt ist mir klar, was da steht auch denk ich. Aber ich weiß nicht so richtig wie ich das aufschreiben soll?
Kann mir da einer helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:45 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegenen seien:
>
> [mm] $R=\{x \in \IR|\,\,\,\, |x-1| \le 3\}$ [/mm] und [mm] $S=\left\{x \in \IR|\,\,\,\, |x-3| \le \frac{3}{2}\right\}$
[/mm]
>
> Geben Sie folgende Mengen an: S [mm]\cup[/mm] R, S [mm]\cap[/mm] R
> Wie man Mengen schneidet und vereinigt ist mir klar, was
> da steht auch denk ich. Aber ich weiß nicht so richtig wie
> ich das aufschreiben soll?
Ich gebe Dir mal folgenden Tipp:
Zeige: Sind [mm] $\varepsilon \ge [/mm] 0$ und [mm] $m_0 \in \IR$ [/mm] fest, so gilt
[mm] $\{x \in \IR: |x-m_0| \le \varepsilon\}=[m_0-\varepsilon,m_0+\varepsilon]=\{x \in \IR: - \varepsilon \le x-m_0 \le \varepsilon\}$
[/mm]
(D.h., Du solltest zwei Dinge zeigen:
1.) Aus [mm] $|x-m_0| \le \varepsilon$ [/mm] folgt [mm] $-\varepsilon \le x-m_0 \le \varepsilon$
[/mm]
2.) Aus [mm] $-\varepsilon \le x-m_0 \le \varepsilon$ [/mm] folgt [mm] $|x-m_0| \le \varepsilon$.)
[/mm]
Damit siehst Du dann sicherlich leicht $R=[-2,4]$ und [mm] $S=\left[\frac{3}{2},\frac{9}{2}\right]$.
[/mm]
Dann gilt z.B. $R [mm] \cap S=\left[\frac{3}{2},4\right]$. [/mm] Wie beweist man das? Naja, wie in der Mengenlehre üblich:
Zeige zunächst:
[mm] $\left[\frac{3}{2},4\right] \subset [/mm] (R [mm] \cap [/mm] S)$
und danach
$(R [mm] \cap [/mm] S) [mm] \subset \left[\frac{3}{2},4\right]$.
[/mm]
[mm] ($(\*)$ [/mm] Denn: Für Mengen $X,Y$ gilt $X=Y$ genau dann, wenn sowohl $X [mm] \subset [/mm] Y$ als auch $Y [mm] \subset [/mm] X$ gilt.)
Übrigens:
Sollte Dir nicht klar sein, warum $R [mm] \cap [/mm] S$ die obige Menge ergibt:
Zeichne Dir doch mal $R$ und $S$ auf dem Zahlenstrahl ein. Dann erkennst Du sicherlich auch, was $R [mm] \cup [/mm] S$ sein wird. Der formale Beweis geht dann analog zu oben (vgl. [mm] $(\*)$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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