Schnitt endlicher Untergruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:12 Fr 05.11.2010 | | Autor: | m0ppel |
| Aufgabe | Es seien [mm]U_{1}, U_{2}[/mm] Untergruppen der Gruppe [mm](G, *)[/mm] mit endlichem Index.
Dann ist auch [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm] Untergruppe von [mm](G, *)[/mm] mit endlichem Index.
Hinweis: Man weise die Endlichkeit von [mm][U_{1} : U_{1} \cap U_{2}][/mm] nach durch Angabe einer surjektiven Abbildung [mm]\Phi : \{u_{1} * U_{2} | u_{1} \in U_{1}\} \to \{u_{1} * (U_{1} \cap U_{2}) | u_{1} \to U_{1}\}[/mm]. |
Hi ich komm hier gerade nicht weiter, und hoffe, dass mir hier jemand einen Tip geben kann.
Hier ist erstmal mein Ansatz:
Ich habe eine Fallunterscheidung vorgenommen:
1.Fall
[mm]U_{1} \cap U_{2}=\emptyset[/mm]
Hier ist der Fall klar, da die Leere Menge zu den endlichen Mengen gehört.
2.Fall
[mm]U_{1} \cap U_{2}\not=\emptyset[/mm]
Meine Vorüberlegung:
Sei [mm]x \in U_{1} \cap U_{2}[/mm] dann gilt [mm]\forall x \in U_{1} \cap U_{2} \Rightarrow x \in U_{1} \wedge x \in U_{2} \Rightarrow (U_{1} \cap U_{2}) \subset U_{1} \wedge (U_{1} \cap U_{2}) \subset U_{2}[/mm]
also kann ich den Satz von Lagrange anwenden
Hier dann [mm]|U_{1}|=|U_{1} \cap U_{2}|*[U_{1} : U_{1} \cap U_{2}][/mm]
Probleme bereitet mir die Definition einer Abbildung, für die gilt:
[mm]\Phi : \{u_{1} * U_{2} | u_{1} \in U_{1}\} \to \{u_{1} * (U_{1} \cap U_{2}) | u_{1} \to U_{1}\}[/mm] mit [mm] \Phi [/mm] surjektiv.
Kann ich hier vllt irgendwie den kanonischen Homomorphismus.
Allerdings müsste ich dann zeigen, dass [mm] (U_{1} \cap U_{2}) [/mm] ein Normalteiler von [mm]U_{2}[/mm] oder?
ich komm hier nicht weiter!
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:31 Fr 05.11.2010 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Es seien [mm]U_{1}, U_{2}[/mm] Untergruppen der Gruppe [mm](G, *)[/mm] mit
> endlichem Index.
> Dann ist auch [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm] Untergruppe von [mm](G, *)[/mm] mit
> endlichem Index.
>
> Hinweis: Man weise die Endlichkeit von [mm][U_{1} : U_{1} \cap U_{2}][/mm]
> nach durch Angabe einer surjektiven Abbildung [mm]\Phi : \{u_{1} * U_{2} | u_{1} \in U_{1}\} \to \{u_{1} * (U_{1} \cap U_{2}) | u_{1} \to U_{1}\}[/mm].
>
> Hi ich komm hier gerade nicht weiter, und hoffe, dass mir
> hier jemand einen Tip geben kann.
>
> Hier ist erstmal mein Ansatz:
> Ich habe eine Fallunterscheidung vorgenommen:
> 1.Fall
> [mm]U_{1} \cap U_{2}=\emptyset[/mm]
> Hier ist der Fall klar, da die
> Leere Menge zu den endlichen Mengen gehört.
Darum geht es nicht. Klar ist aber, daß dieser Fall nicht eintritt, denn [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] sollen ja Untergruppen sein, haben also mindestens das neutrale Element gemeinsam.
> 2.Fall
> [mm]U_{1} \cap U_{2}\not=\emptyset[/mm]
> Meine Vorüberlegung:
> Sei [mm]x \in U_{1} \cap U_{2}[/mm] dann gilt [mm]\forall x \in U_{1} \cap U_{2} \Rightarrow x \in U_{1} \wedge x \in U_{2} \Rightarrow (U_{1} \cap U_{2}) \subset U_{1} \wedge (U_{1} \cap U_{2}) \subset U_{2}[/mm]
>
> also kann ich den Satz von Lagrange anwenden
> Hier dann [mm]|U_{1}|=|U_{1} \cap U_{2}|*[U_{1} : U_{1} \cap U_{2}][/mm]
Eben gerade nicht, weil es unendliche Gruppen sein können.
> Probleme bereitet mir die Definition einer Abbildung, für
> die gilt:
> [mm]\Phi : \{u_{1} * U_{2} | u_{1} \in U_{1}\} \to \{u_{1} * (U_{1} \cap U_{2}) | u_{1} \to U_{1}\}[/mm]
> mit [mm]\Phi[/mm] surjektiv.
> Kann ich hier vllt irgendwie den kanonischen
> Homomorphismus.
> Allerdings müsste ich dann zeigen, dass [mm](U_{1} \cap U_{2})[/mm]
> ein Normalteiler von [mm]U_{2}[/mm] oder?
Es geht nicht um Gruppenhomomorphismen, sondern um Abbildungen zwischen Mengen, von Normalteilern ist keine Rede.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Fr 05.11.2010 | | Autor: | m0ppel |
Danke schon mal für deine Antwort, aber kannst du mir dann vllt einen Tip gebe, wie ich es dann machen soll!
Das waren leider schon meine Ideen zu dieser Aufgabe. :(
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:35 Sa 06.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke schon mal für deine Antwort, aber kannst du mir dann
> vllt einen Tip gebe, wie ich es dann machen soll!
> Das waren leider schon meine Ideen zu dieser Aufgabe. :(
1. Was haben die Mengen $A := [mm] \{ u_1 U_2 \mid u_1 \in U_1 \}$ [/mm] und $B := [mm] \{ u_1 (U_1 \cap U_2) \mid u_1 \in U_1 \}$ [/mm] mit der Aufgabenstellung zu tun?
2. Wie kannst du die Aufgabe loesen, wenn du weisst, dass es eine surjektive Abbildung $A [mm] \to [/mm] B$ gibt? (Das bedeutet doch, dass $|B| [mm] \le [/mm] |A|$ ist.)
3. Schreibe eine potentielle surjektive Abbildung $A [mm] \to [/mm] B$ hin und zeige, dass sie wohldefiniert ist (das ist die Schwierigkeit hier) und dass sie surjektiv ist (das folgt aus der Form wie sie hingeschrieben ist).
Auf diese drei Fragen meinerseits haettest du allerdings auch selber kommen koennen. Diese Fragen solltest du dich bei einem gegebenen Hinweis in der Aufgabenstellung immer stellen: 1. Was hat der Hinweis mit der Aufgabenstellung zu tun? 2. Wenn ich den Hinweis habe, wie zeige ich damit die Aufgabe? 3. Wie bekomme ich den Hinweis hin?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:21 So 07.11.2010 | | Autor: | m0ppel |
[mm]\Phi : \{u_{1} \cdot U_{2} | u_{1} \in U_{1}\} \to \{u_{1} \cdot (U_{1} \cap U_{2}) | u_{1} \in U_{1}\}[/mm]
Kann ich das dann einfach so definieren:
[mm]\Phi (\{u_{1} \cdot U_{2}) = u_{1} \cdot (U_{1} \cap U_{2})[/mm]
Kann ich hier sagen, dass das surjektiv ist? Da es zu jedem [mm]u_{1} \cdot (U_{1} \cap U_{2})[/mm] mindestens genau ein Urbild zugeordnet wird.
Hier liegt eigentlich mein Problem, dass ich mir bei der Definition der Abbildung nicht sicher bin.
Wohldefiniertheit:
z.z. wenn gilt [mm]u_{1} \cdot U_{2}=u'_{1} \cdot U_{2}[/mm] dann gilt auch [mm]\Phi(u_{1} \cdot U_{2})=\Phi(u'_{1} \cdot U_{2})[/mm]
Beweis (Idee):
wenn [mm]u_{1} \cdot U_{2}=u'_{1} \cdot U_{2}[/mm] gilt, dann existiert ein [mm]a \in U_{1}[/mm] mit [mm]a \in u_{1} \cdot U_{2} \gdw \exists u'_{2} \in U_{2}: u_{1} \cdot u'_{2} = a[/mm] und [mm]a \in u'_{1} \cdot U_{2} \gdw \exists u''_{2}\in U_{2}: u'_{1} \cdot u''_{2} = a[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]\Phi(u_{1} \cdot U_{2})=\underbrace{\Phi(a \cdot U_{2})}_{geht das?}=\Phi(u'_{1} \cdot U_{2})[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]u_{1} \cdot (U_{1} \cap U_{2})=a \cdot (U_{1} \cap U_{2}) =u'_{1} \cdot (U_{1} \cap U_{2})[/mm]
Wäre jetzt die Wohldefiniertheit so gezeigt?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 So 07.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]\Phi : \{u_{1} \cdot U_{2} | u_{1} \in U_{1}\} \to \{u_{1} \cdot (U_{1} \cap U_{2}) | u_{1} \in U_{1}\}[/mm]
>
> Kann ich das dann einfach so definieren:
> [mm]\Phi (\{u_{1} \cdot U_{2}) = u_{1} \cdot (U_{1} \cap U_{2})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Lass das "$\{$" mal vorne weg, dann ist es ok.
> Kann ich hier sagen, dass das surjektiv ist? Da es zu jedem
> [mm]u_{1} \cdot (U_{1} \cap U_{2})[/mm] mindestens genau ein Urbild
> zugeordnet wird.
Lass das "genau" hier weg. Du kannst ja ein Urbild explizit angeben: naemlich [mm] $u_1 U_2$.
[/mm]
> Hier liegt eigentlich mein Problem, dass ich mir bei der
> Definition der Abbildung nicht sicher bin.
>
> Wohldefiniertheit:
Die Wohldefiniertheit ist das wichtige, was du zuerst zeigen musst. Bevor du dich um die Surjektivitaet kuemmerst.
> z.z. wenn gilt [mm]u_{1} \cdot U_{2}=u'_{1} \cdot U_{2}[/mm] dann
> gilt auch [mm]\Phi(u_{1} \cdot U_{2})=\Phi(u'_{1} \cdot U_{2})[/mm]
Das ist schlecht aufgeschrieben.
Du musst zeigen: ist [mm] $u_1 U_2 [/mm] = [mm] u_1' U_2$, [/mm] dann ist [mm] $u_1 (U_1 \cap U_2) [/mm] = [mm] u_1' (U_1 \cap U_2)$.
[/mm]
> Beweis (Idee):
> wenn [mm]u_{1} \cdot U_{2}=u'_{1} \cdot U_{2}[/mm] gilt, dann
> existiert ein [mm]a \in U_{1}[/mm] mit [mm]a \in u_{1} \cdot U_{2}$
> $\gdw \exists u'_{2} \in U_{2}: u_{1} \cdot u'_{2} = a[/mm]
> und [mm]a \in u'_{1} \cdot U_{2} \gdw \exists u''_{2}\in U_{2}: u'_{1} \cdot u''_{2} = a[/mm]
Das ist ziemlich chaotisch aufgeschrieben.
Du meinst:
Es ist [mm] $u_1 \in u_1 U_2 [/mm] = [mm] u_1' U_2$, [/mm] womit es ein [mm] $u_2' \in U_2$ [/mm] gibt mit [mm] $u_1 [/mm] = [mm] u_1' u_2'$.
[/mm]
Du brauchst [mm] $u_1$ [/mm] nicht noch extra als $a$ zu bezeichnen...
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\Phi(u_{1} \cdot U_{2})=\underbrace{\Phi(a \cdot U_{2})}_{geht das?}=\Phi(u'_{1} \cdot U_{2})[/mm]
Nun, entweder kannst du es begruenden, oder du kannst es nicht begruenden.
Einfach etwas hinzuschreiben ist zumindest keine Loesung...
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]u_{1} \cdot (U_{1} \cap U_{2})=a \cdot (U_{1} \cap U_{2}) =u'_{1} \cdot (U_{1} \cap U_{2})[/mm]
Nun, das sollst du zeigen.
> Wäre jetzt die Wohldefiniertheit so gezeigt?
Ich glaube du hast die Wohldefiniertheit gezeigt, indem du die Wohldefiniertheit benutzt hast.
Versuch es nochmal...
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:44 Mo 08.11.2010 | | Autor: | m0ppel |
Sei [mm]\Phi : \{u_{1} \cdot U_{2} | u_{1} \in U_{1}\} \to \{u_{1} \cdot (U_{1} \cap U_{2}) | u_{1} \in U_{1}\}[/mm] definiert als [mm]\Phi (\{u_{1} \cdot U_{2}) = u_{1} \cdot (U_{1} \cap U_{2})[/mm]
z.z. wohldefiniert: gelte [mm]u_{1} \cdot U_{2}=u'_{1} \cdot U_{2}[/mm] dann soll auch gelten: [mm]u_{1} \cdot (U_{1} \cap U_{2})=u'_{1} \cdot (U_{1} \cap U_{2})[/mm]
Widerspruchsbeweis
Sei [mm]u_{1} \cdot U_{2}=u'_{1} \cdot U_{2}[/mm] und gelte [mm]\Phi(u_{1} \cdot U_{2}) \not= \Phi(u'_{1} \cdot U_{2})[/mm] dann gilt auch [mm]u_{1} \cdot (U_{1} \cap U_{2}) \not = u'_{1} \cdot (U_{1} \cap U_{2})[/mm]
Das heißt, es existiert kein Element [mm]x[/mm] mit [mm] x \in u_{1} \cdot (U_{1} \cap U_{2}) \wedge x\in u'_{1} \cdot (U_{1} \cap U_{2})[/mm], denn zwei Nebenklassen sind immer gleich oder elementfremd.
[mm] \Rightarrow [/mm] also existiert kein [mm]u_{1,2} \in (U_{1}\cap U_{2})[/mm] mit [mm]u_{1}=u'_{1}u_{1,2}[/mm]
Sei nun [mm] u_{1} \in u_{1} \cdot U_{2} \Rightarrow u_{1} \in u'_{1} \cdot U_{2}[/mm] [mm]\Rightarrow \exists u'_{2}\in U_{2}: u_{1} = u'_{1}u'_{2} [/mm]
Auf Grund der Definition von Nebenlassen kann dieses [mm] u_{1} [/mm] so gewählt werden, dass [mm]u'_{2} \in (U_{1} \cap U_{2})[/mm] liegt
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm] u_{1} \in u_{1} \cdot (U_{1} \cap U_{2})[/mm] und [mm]u_{1} \in u'_{1} \cdot (U_{1} \cap U_{2})[/mm] da ein [mm]u'_{2} \in (U_{1} \cap U_{2})[/mm] existiert mit [mm]u_{1} = u'_{1}u'_{2} [/mm]
Da zwei Nebenklassen allerdings gleich oder elementfremd sind, gilt [mm]u_{1} \cdot (U_{1} \cap U_{2})= u'_{1} \cdot (U_{1} \cap U_{2})[/mm].
Daher ist die Abbildung wohldefiniert.
oder?
Nun muss nur noch gezeigt werden, dass [mm]\Phi[/mm] surjktiv ist.
z.z. [mm]\forall Phi (u_{1} \cdot (U_{1} \cap U_{2})) \in {u_{1} \cdot (U_{1} \cap U_{2}) | u_{1} \exists u_{1} \cdot U_{2} \in \{u_{1} \cdot U_{2} | u_{1} \in U_{1}\}[/mm]
hier bin ich noch nicht weiter gekommen. Aber ist der Anfang erstmal so richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Mi 10.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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