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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Sa 30.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | a) Es seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum und W,W′ [mm] \subseteq [/mm] V zwei lineare Unterräume
von V. Zeigen Sie, dass W [mm] \cup [/mm] W′ genau dann ein linearer Unterraum von V ist, wenn
W [mm] \subseteq [/mm] W′ oder W′ [mm] \subseteq [/mm] W gilt.
b) Es sei K ein Körper mit nur endlich vielen Elementen (z.B. [mm] F_2). [/mm] Zeigen Sie, dass
[mm] K^n [/mm] für jedes n ≥ 2 Vereinigung von endlich vielen echten Teilräumen ist. (Dabei heißt ”echt“, dass der entsprechende Teilraum nicht ganz [mm] K^n [/mm] ist.)
Erläutern Sie, warum für
einen Körper mit unendlich vielen Elementen [mm] K^2 [/mm] nicht die Vereinigung von endlich vielen echten Teilräumen sein kann. |
zu a)
Für einen Unterraum gelten folgende Axiome:
1. W [mm] \not= \emptyset
[/mm]
2. [mm] \forall w_1, w_2 \in [/mm] W: [mm] w_1 [/mm] + [mm] w_2 \in [/mm] W
3. [mm] \forall \lambda \in [/mm] K, [mm] \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] W: [mm] \lambda [/mm] * [mm] w_1 \in [/mm] W
Aber wie kann ich das allgemein zeigen?
Muss ich die Axiome überhaupt zeigen oder reicht es zu zeigen:
W [mm] \cup [/mm] W′ [mm] \gdw [/mm] W [mm] \subseteq [/mm] W′ bzw
W [mm] \cup [/mm] W′ [mm] \gdw [/mm] W´ [mm] \subseteq [/mm] W
zu b) Da stehe ich gerade auf dem Schlauch...
Ich soll zeigen, dass eine Vereinigung von Unterräumen wie [mm] K^3, K^4, K^5 [/mm] usw fast [mm] K^n [/mm] ergeben...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Sa 30.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du brauchst die def. von Unterraum wenn du zeigen willst dass
[mm] W\cup [/mm] W' ein Unteraum ist.
vielleicht machst du dir das im [mm] R^3 [/mm] klar, nimm eine Ebene durch 0 als einen Unterraum, eine Gerade durch 0 als zweiten. wann ist die vereinigung wieder ein UR und warum nicht, wenn die Gerade nicht in der Ebene liegt.
man sollte sich Aufgaben an einfachen Bsp. klar machen, dann fällt oft der Beweis leichter.
Deine Behauptung ist einfach nur falsch und führt nicht zum Ziel
W=rspan ((1,0)) W'=span (0,1) dann überprüfe deine Behauptung .
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 So 01.12.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Also ich habs jetzt mal mit nem Widerspruchsbeweis probiert. Würde das so gehen?
U1 [mm] \cup [/mm] U2 [mm] \gdw [/mm] U1 [mm] \subseteq [/mm] U2 [mm] \vee [/mm] U2 [mm] \subseteq [/mm] U1
Also zeige ich:
a) U1 [mm] \subseteq [/mm] U2 [mm] \Rightarrow [/mm] U1 [mm] \cup [/mm] U2
b) [mm] U2\subseteq [/mm] U1 [mm] \Rightarrow [/mm] U1 [mm] \cup [/mm] U2
a) Da ich einen Widerspruch zeigen wil:
U1 [mm] \subseteq [/mm] U2 [mm] \Rightarrow [/mm] U1 [mm] \cup [/mm] U2= [mm] \emptyset
[/mm]
Da U1 und U2 ja Unterräume seien sollen, wissen wir, dass sie nicht leer sein dürfen. Also existieren [mm] u_1 \in [/mm] U1 und [mm] u_2 \in [/mm] U2.
Für U [mm] \cup [/mm] U´ muss Abgeschlossenheit gelten, da das ja ein Unterraum ist.
[mm] \Rightarrow u_1, u_2 \in [/mm] U1 [mm] \cup [/mm] U2, und da die Vereinigung laut Voraussetzung disjunkt ist, sind [mm] u_1u_2 \in [/mm] U1 [mm] \vee [/mm] U2.
Fall 1: [mm] u_1u_2 \in [/mm] U1, dann liegt auch [mm] (u_1u_2)^-^1 \in [/mm] U1 und somit auch [mm] u_1*(u_1u_2)^-^1.
[/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] u2 [mm] \in [/mm] U1, was aber ein Widerspruch ist.
Fall 2: [mm] u_1u_2 \in [/mm] U2, dann liegt auch [mm] (u_1u_2)^-^1 \in [/mm] U2 und somit auch [mm] u_2*(u_1u_2)^-^1.
[/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] u1 [mm] \in [/mm] U2, was ein Widerspruch ist.
Also gilt: U1 [mm] \subseteq [/mm] U2 [mm] \Rightarrow [/mm] U1 [mm] \cup [/mm] U2 ist Unterraum.
Für b) ist das dann analog zu zeigen.
Zu Aufgabenteil b der gesamten Aufgabe, also das mit der Vereinigung von endlich vielen echten Teilräumen bräuchte ich immer noch einen kleinen Denkanstoß...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 So 01.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich verstehe nicht was du tust
> U1 [mm]\cup[/mm] U2 [mm]\gdw[/mm] U1 [mm]\subseteq[/mm] U2 [mm]\vee[/mm] U2 [mm]\subseteq[/mm] U1
>
> Also zeige ich:
>
> a) U1 [mm]\subseteq[/mm] U2 [mm]\Rightarrow[/mm] U1 [mm]\cup[/mm] U2
U1 [mm]\subseteq[/mm] U2 [mm]\ ist keine Aussage, so wenig wie etwa 2+3 eine Aussage ist, deshalb ist die Zeile sinnlos, entsprechend die 2 anderen. richtig ist
[mm] U1\subsetequ [/mm] U2 => [mm] U1\cup [/mm] U2=U2
>
> b) [mm]U2\subseteq[/mm] U1 [mm]\Rightarrow[/mm] U1 [mm]\cup[/mm] U2
>
>
> a) Da ich einen Widerspruch zeigen wil:
>
> U1 [mm]\subseteq[/mm] U2 [mm]\Rightarrow[/mm] U1 [mm]\cup[/mm] U2= [mm]\emptyset[/mm]
dass das falsch ist ist selbverständlich siehe oben.
aber trotzdem die Frage was ist denn u1*u2
und was bedeutet :"die Vereinigung laut Voraussetzung disjunkt" wie kann eine vereinigung disjunkt sein? sie ist leer, wenn beide leer sind .sonst enthäöt sie vektoren aus U1 und U2.
Wenn du einen Widerspruch haben willst dann mußt du zeigen
W' nicht Unterraum von W oder W von W' dann ist die Vereinigung ein Unterraum.
So was weisst du jetzt wenn nicht gilz [mm] W'\subseteq [/mm] W? du weisst es existiert ein [mm] w'\in [/mm] W'
mit [mm] w'\not\in [/mm] W
damir weiter.
b ist was anderes.
Gruß leduart
> Da U1 und U2 ja Unterräume seien sollen, wissen wir, dass
> sie nicht leer sein dürfen. Also existieren [mm]u_1 \in[/mm] U1 und
> [mm]u_2 \in[/mm] U2.
>
> Für U [mm]\cup[/mm] U´ muss Abgeschlossenheit gelten, da das ja
> ein Unterraum ist.
>
> [mm]\Rightarrow u_1, u_2 \in[/mm] U1 [mm]\cup[/mm] U2, und da die Vereinigung
> laut Voraussetzung disjunkt ist, sind [mm]u_1u_2 \in[/mm] U1 [mm]\vee[/mm]
> U2.
>
> Fall 1: [mm]u_1u_2 \in[/mm] U1, dann liegt auch [mm](u_1u_2)^-^1 \in[/mm] U1
> und somit auch [mm]u_1*(u_1u_2)^-^1.[/mm]
>
> [mm]\rightarrow[/mm] u2 [mm]\in[/mm] U1, was aber ein Widerspruch ist.
>
> Fall 2: [mm]u_1u_2 \in[/mm] U2, dann liegt auch [mm](u_1u_2)^-^1 \in[/mm] U2
> und somit auch [mm]u_2*(u_1u_2)^-^1.[/mm]
>
> [mm]\rightarrow[/mm] u1 [mm]\in[/mm] U2, was ein Widerspruch ist.
>
>
> Also gilt: U1 [mm]\subseteq[/mm] U2 [mm]\Rightarrow[/mm] U1 [mm]\cup[/mm] U2 ist
> Unterraum.
>
>
> Für b) ist das dann analog zu zeigen.
verstehe die Analögie nicht
Gruß leduart
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