Schnitt Kern und Bild < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Hi
Mein Aufgabe lautet:
Beweise oder widerlege folgende Aussage:
Für jede lineare Abbildung f: [mm] \IR^4 \rightarrow \IR^4 [/mm] gilt kern(f) [mm] \cap [/mm] Im(f) = [mm] \not0 [/mm] |
Ich nehme an, dass die Aussage falsch ist und suche deshalb nach einem Gegebeispiel:
[mm] f(\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] ) = [mm] \vektor{x_1 - 1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm]
Wenn ich nun wende ich eine BAsis des Definitionsbereiches auf meine Abbildungsvorschrift an:
[mm] f(\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] ) = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm]
[mm] f(\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] ) = [mm] \vektor{-1 \\1 \\ 0 \\ 0} [/mm]
[mm] f(\vektor{0 \\ 0\\ 1 \\ 0} [/mm] ) = [mm] \vektor{-1 \\0 \\ 1 \\ 0} [/mm]
[mm] f(\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] ) = [mm] \vektor{-1 \\0 \\ 0 \\ 1} [/mm]
Nun besteht der Kern doch aus meinem ersten Basisvektor und Das Bild aus den restlichen Dreien. Damit meine ich, dim(kern(f)) =1 und dim(Im(f))= 3
Somit ist der Schnitt niemals die leere Menge.
Was sagt ihr dazu?
danke :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Do 01.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi
>
> Mein Aufgabe lautet:
>
> Beweise oder widerlege folgende Aussage:
>
> Für jede lineare Abbildung f: [mm]\IR^4 \rightarrow \IR^4[/mm] gilt
> kern(f) [mm]\cap[/mm] Im(f) = [mm]\not0[/mm]
Steht da wirklich rechts die leere Menge, also
kern(f) [mm]\cap[/mm] Im(f) = [mm] \emptyset
[/mm]
Wenn ja, so ist diese Aussage immer falsch, denn der Schnitt von 2 Unterräumen eines Vektorraumes enthält immer was ???
?
> Ich nehme an, dass die Aussage falsch ist und suche
> deshalb nach einem Gegebeispiel:
>
> [mm]f(\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm] ) = [mm]\vektor{x_1 - 1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm]
Diese Abbildung ist nicht linear ! Denn
$ [mm] f(\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] $ ) [mm] \ne [/mm] $ [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] $
FRED
>
> Wenn ich nun wende ich eine BAsis des Definitionsbereiches
> auf meine Abbildungsvorschrift an:
>
> [mm]f(\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] ) = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]f(\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm] ) = [mm]\vektor{-1 \\1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]f(\vektor{0 \\ 0\\ 1 \\ 0}[/mm] ) = [mm]\vektor{-1 \\0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]f(\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm] ) = [mm]\vektor{-1 \\0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
>
> Nun besteht der Kern doch aus meinem ersten Basisvektor und
> Das Bild aus den restlichen Dreien. Damit meine ich,
> dim(kern(f)) =1 und dim(Im(f))= 3
>
> Somit ist der Schnitt niemals die leere Menge.
>
> Was sagt ihr dazu?
>
> danke :)
>
|
|
|
| |
|
> > Hi
> >
> > Mein Aufgabe lautet:
> >
> > Beweise oder widerlege folgende Aussage:
> >
> > Für jede lineare Abbildung f: [mm]\IR^4 \rightarrow \IR^4[/mm] gilt
> > kern(f) [mm]\cap[/mm] Im(f) = [mm]\not0[/mm]
>
> Steht da wirklich rechts die leere Menge, also
>
> kern(f) [mm]\cap[/mm] Im(f) = [mm]\emptyset[/mm]
Ja steht exakt so in meiner Angabe
>
> Wenn ja, so ist diese Aussage immer falsch, denn der
> Schnitt von 2 Unterräumen eines Vektorraumes enthält
> immer was ???
Zumindest die 0 (sonst wäre er kein Untervektorraum), also nicht leer :)
>
> ?
>
> > Ich nehme an, dass die Aussage falsch ist und suche
> > deshalb nach einem Gegebeispiel:
> >
> > [mm]f(\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm] ) = [mm]\vektor{x_1 - 1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm]
>
> Diese Abbildung ist nicht linear ! Denn
>
> [mm]f(\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] ) [mm]\ne[/mm] [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
>
Alles klar, das war mein Denkfehler
> FRED
|
|
|
|
