Schlecht konvergente Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:07 So 04.03.2007 | | Autor: | Tiffany |
Folgende Aufgabe ist zum Verzweifeln:
Berechne den Reihenwert $R = [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k * \ln (k+1)^2}$ [/mm] auf 6 Dezimalstellen genau!
Klingt leicht, aber die Reihe konvergiert extrem langsam. Selbst wenn ich eine Million Glieder addiere hab ich erst zwei Stellen. Was tun?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:13 Mo 05.03.2007 | | Autor: | wauwau |
Wohin gehört das Quadrat zum Logarithmus oder zum Argument des Log´s ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:33 Mo 05.03.2007 | | Autor: | Tiffany |
Gemeint ist das Quadrat des Logarithmus, also [mm] $(\ln(x+1))^2$.
[/mm]
Kann man bei Reihen nicht durch Tricks die Konvergenz beschleunigen?
MfG,
Tiffany
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:08 Di 06.03.2007 | | Autor: | Tiffany |
Ich habe bisher mit dem Rechner verschiedene Summenwerte für die ersten n Glieder ausgerechnet:
n = 100000 R = 3.30087668
n = 200000 R = 3.30580912
n = 300000 R = 3.30844307
n = 500000 R = 3.31152975
n = 700000 R = 3.31343490
n = 1000000 R = 3.31535312
n = 1500000 R = 3.31741687
Für mich sieht das aus, als würde es immer gleichmäßig weiterwachsen. Konvergiert denn das überhaupt?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 Mi 07.03.2007 | | Autor: | wauwau |
Aso nach dem Cauchy`chen Verdichtungskriterium http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysches_Verdichtungskriterium ist die Reihe konvergent - meines Erachtens
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Kay_S |
Probiere folgende Methode der Konvergenzbeschleunigung:
Definiere die Partialsumme [mm] $S_n [/mm] := [mm] \summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k*\ln(k+1)^2}$, [/mm] wobei $n$ noch von praktikabler Größe ist. Jetzt betrachte die Ersatzfolge
[mm] $R_n [/mm] := [mm] (n+1)*S_{n+1} [/mm] - [mm] n*S_n$
[/mm]
Es gilt [mm] $R_n \rightarrow [/mm] R$, die Ersatzfolge konvergiert aber erheblich schneller gegen den fraglichen Grenzwert als die Originalreihe.
Beispiel:
n = 10, k = 1024
[mm] $S_{10} [/mm] = 3.24348039 [mm] \quad S_{11} [/mm] = 3.25658725$
[mm] $\Rightarrow R_{10} [/mm] = [mm] \underline{3.387}65590$
[/mm]
n = 15, k = 32768
[mm] $S_{15} [/mm] = 3.29155605 [mm] \quad S_{16} [/mm] = 3.29756717$
[mm] $\Rightarrow R_{15} [/mm] = [mm] \underline{3.38773}405$
[/mm]
n = 20, k = 1048576
[mm] $S_{20} [/mm] = 3.31560078 [mm] \quad S_{21} [/mm] = 3.31903577$
[mm] $\Rightarrow R_{20} [/mm] = [mm] \underline{3.3877355}0$
[/mm]
Also R = 3.3877355... . Es reichen also ca. zwei Millionen Glieder und Du bekommst etwa 8 Stellen Genauigkeit.
Gruß,
Kay
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 08.03.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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