Schiefsymmetrische Bilinearf. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Olek |
Hi,
ich habe gerade etwas gefunden was mir nicht ganz klar ist, wär schön wenn mir das jemand kurz erläutern könnte:
Es sei W ein zweidimensionaler Vektorraum über K mit Char(K) [mm] \not= [/mm] 2.
Sei B = {u, v} eine Basis von W und f eine schiefsymmetrische Bilinearform auf W mit
f(u, v) = 1. Dann gilt offenbar
[mm] [f]_{B}=\pmat{ & 1 \\ -1 & 0 }
[/mm]
Wieso ist das so? Wie kommt man daruf? Was besagt f(u, v) = 1 denn?
Vielen lieben Dank für eure Antwort,
Olek
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Galois |
Hallo Olek,
ich nehme mal an, das Wort "offensichtlich" in Deinem Beitrag ist ein Zitat... :)
Die Matrix [mm] $[f]_{B}$ [/mm] bezeichnet hier offenbar die der Bilinearform $f$ bezüglich der Basis B zugeordneten Matrix, also im [mm] allgemeinen$[f]_{B}=\pmat{ f(u,u) & (u,v) \\ f(v,u) & f(v,v) }$.
[/mm]
Wegen der Schiefsymmetrie von $f$ und der zusätzlichen Voraussetzung an $f$ ist f(v,u)=-f(u,v)=-1.
Es bleibt f(v,v)=0 zu zeigen. Dies folgt aber aus $f(v,v)=-f(v,v)$ (Schiefsymmetrie von f!) und [mm] $2\neq [/mm] 0$.
Grüße,
Galois
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