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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Mo 12.09.2005 | | Autor: | zlata |
Hallo!
Wie kann ich eine Funktionsgleichung bestimmen, die die lineare Funktion y=2x+4 als schiefe Asymptote hat?
Gibt es da ein allgemeines Verfahren?
Danke Zlata
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo zlata!
Eine gebrochen-rationale Funktion $f(x) \ = \ [mm] \bruch{g(x)}{h(x)}$ [/mm] lässt sich ja durch eine  Polynomdivision in die Darstellung $f(x) \ = \ A(x) + [mm] \bruch{R(x)}{h(x)}$ [/mm] überführen.
Dabei gibt dann $A(x)_$ die Asymptotenfunktion für [mm] $x\rightarrow \pm \infty$ [/mm] an, und der Bruch [mm] $\bruch{R(x)}{h(x)}$ [/mm] die Restfunktion.
Dabei ist nun der Grad von $R(x)_$ nun echt kleiner als der Grad von $h(x)_$ !
Für Deine gewünschte Asymptoten-Funktion lässt sich das nun folgendermaßen anwenden:
$f(x) \ = \ [mm] \underbrace{2x+4}_{= \ A(x)} [/mm] \ + \ [mm] \bruch{R(x)}{h(x)}$
[/mm]
Für $R(x)_$ und $h(x)_$ wähle ich nun beliebig:
$h(x) \ := \ x-2$ sowie $R(x) \ = \ 3$
Damit wird: $f(x) \ = \ 2x+4 \ + \ [mm] \bruch{3}{x-2}$
[/mm]
Wenn Du das nun entsprechend erweiterst und auf einen Bruch zusammenfasst, hast Du eine Funktion mit der gewünschten Asymptote.
Kontrollergebnis: $f(x) \ = \ [mm] \bruch{2x^2-5}{x-2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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