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| Aufgabe | Seien [mm] \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in \IR_{3} [/mm] Vektoren und [mm] \lambda \in \IR. [/mm]
[mm] F(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) [/mm] sei definiert als [mm] a\*b\*sin(\gamma)
[/mm]
b)
Beweisen Sie den Scherungssatz formal
Unser Scherungssatz:
[mm] F(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) [/mm] = [mm] F(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}+\lambda\overrightarrow{a})
[/mm]
Tipp: Gehen Sie zum Bewies des Satzes auf beiden Seiten der Gleichung zum Quadrat über, zeigen Sie dort die Gleichheit und begründen dann, dass beide Seiten das gleiche Vorzeichen haben. |
Ich habe jetzt so angefangen:
[mm] a\*b\*sin\gamma [/mm] = [mm] a\*(b+\lambda\* a)\* sin\gamma
[/mm]
[mm] a^{2}\*b^{2}\*sin^{2}\gamma [/mm] = [mm] a^{2} \*(b+\lambda\* a)^{2}\*sin^{2}\gamma
[/mm]
Wenn ich jetzt durch [mm] a^{2} [/mm] und durch [mm] sin^{2}\gamma [/mm] teilte und die wurzel ziehen würde, käme ich auf folgende Zeile:
b = [mm] (b+\lambda\*a)
[/mm]
Aber das kann doch nicht schon die Lösung sein oder? Das quadrieren wäre ja dann überflüssig!
Ein Tutor gab den Tipp, dass [mm] sin^{2}x [/mm] = [mm] 1-cos^{2}x [/mm] sei
Ich verstehe nicht, wie ich das zeigen soll, weil man doch schon durch das Kürzen sieht, dass die Gleichheit gilt oder?
Danke!
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> Seien [mm]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in \IR_{3}[/mm]
> Vektoren und [mm]\lambda \in \IR.[/mm]
> [mm]F(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})[/mm] sei definiert als
> [mm]a\*b\*sin(\gamma)[/mm]
Hallo,
unter dieser Definition kann ich mir nix vorstellen. Was soll denn [mm] \gamma [/mm] sein? das steht nirgendwo....
Ich ahne es natürlich: [mm] \gamma [/mm] ist der Winkel zwischen [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}. [/mm] Richtig? Wichtig!
>
> b)
>
> Beweisen Sie den Scherungssatz formal
>
> Unser Scherungssatz:
> [mm]F(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})[/mm] =
> [mm]F(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}+\lambda\overrightarrow{a})[/mm]
Zu Deinem Scherungssatz gehört sicher noch "für alle [mm] \lambda\in \IR", [/mm] oder?
> Tipp: Gehen Sie zum Bewies des Satzes auf beiden Seiten der
> Gleichung zum Quadrat über, zeigen Sie dort die Gleichheit
> und begründen dann, dass beide Seiten das gleiche
> Vorzeichen haben.
> Ich habe jetzt so angefangen:
>
> [mm]a\*b\*sin\gamma[/mm] = [mm]a\*(b+\lambda\* a)\* sin\gamma[/mm]
Tja, und hier steckt schon der Wurm drin. Der Winkel zwischen [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] ist natürlich nicht derselbe wie zwischen [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}+\lambda\vec{a}.
[/mm]
>
> [mm]a^{2}\*b^{2}\*sin^{2}\gamma[/mm] = [mm]a^{2} \*(b+\lambda\* a)^{2}\*sin^{2}\gamma[/mm]
>
> Wenn ich jetzt durch [mm]a^{2}[/mm] und durch [mm]sin^{2}\gamma[/mm] teilte
> und die wurzel ziehen würde, käme ich auf folgende Zeile:
Abgesehen von dem oben erwähnten Winkelproblem ist auch dieses Vorgehen etwas - gedankenlos.
Denn was hast Du dort in Wahrheit stehen nach Division durch [mm] a^2 [/mm] und [mm] sin^\gamma?
[/mm]
[mm] b^2=|\vec{b}|^2=|\vec{b}+\lambda\vec{a}|^2.
[/mm]
Wenn Du die Wurzel ziehst, hast Du also rechts und links Beträge von Vektoren, und wenn Du mit den Buchstaben ohne Pfeil die beträge meinst, ist die rechte Seite dessen, was Du erhältst, völlig falsch.
> b = [mm](b+\lambda\*a)[/mm]
>
> Aber das kann doch nicht schon die Lösung sein oder? Das
Ich denke, Du merkst, daß Du von Anfang an noch mal ein bißchen in Dich gehen mußt.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela!
Danke für deine Antwort!
Ich habe es leider nicht hinbekommen.
Ich habe allerdings die Lösung (auf die ich auch nie gekommen wäre!)
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
Ich verstehe nur leider nicht, was auf der rechten Seite von Zeile 2 auf 3 und von 3 auf 4 passiert. Wieso fällt das cos plötzlich weg???
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> Hallo Angela!
> Danke für deine Antwort!
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> Ich habe es leider nicht hinbekommen.
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> Ich habe allerdings die Lösung (auf die ich auch nie
> gekommen wäre!)
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> [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
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> Ich verstehe nur leider nicht, was auf der rechten Seite
> von Zeile 2 auf 3 und von 3 auf 4 passiert. Wieso fällt das
> cos plötzlich weg???
>
Hallo,
von Zeile 2 zu Zeile 3 wird das Skalarprodukt verwendet:
Skalarprodukt zweier Vektoren= Produkt der Beträge * Cos des Winkels zwischen den beiden Vekoren.
Deine beiden Vektoren sind hier [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}+\lambda\vec{a}.
[/mm]
Von Zeile 3 zu Zeile 4 wurde
- vorne [mm] |\vec{b}+\lambda\vec{a}|^2=(\vec{b}+\lambda\vec{a})*(\vec{b}+\lambda\vec{a}) [/mm] verwendet und ausmultipliziert,
- hinten schlichtweg die Klammer [mm] \vec{a}*(\vec{b}+\lambda\vec{a}) [/mm] ausmultipliziert.
Beachte: [mm] |\vec{v}|^2=\vec{v}*\vec{v}= \vec{v}*\vec{v}*cos(0)
[/mm]
Gruß v. Angela
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