Scheitelpunkte der Evolute < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | durch x(t) = 6cos(t)-2cos(3t), y(t)=6sin(t)+2sin(3t), [mm] 0\le t\le\pi [/mm] ist eine ebene Kurve C gegeben. man skizziere die kurve C und berechne
1) normalen- und tangentenvektor
2) bogenlänge der kurve
3) die scheitelpunkte und eine darstellung der evolute von C
4) den inhalt der von c erzeugten mantelfläche
5) man bestimmte die grenzwerte der tangentensteigungen in den singulären kurvenpunkten |
hallo .)
die obige aufgabe bereitet mir einige probleme, da das themengebiet sehr neu für mich ist, versuche es mir via internet und den papula-bänden selbst beizubringen..
ich schreibe mal was ich bisher herausbekommen habe:
1) tangenten und normalenvektor:
x(t) = 6cos(t)-2cos(3t)
x'(t) = -6sin(t)+6sin(3t)
x''(t) = -6cos(t)+18cos(3t)
y(t) = 6sin(t)+2sin(3t)
y'(t) = 6cos(t)+6cos(3t)
y''(t) = -6sin(t)-18sin(3t)
Tangenentenvektor:
[mm]\vec T [/mm](t) = 6(-sin(t)+sin(3t),cos(t)+cos(3t))
Normalvektor:
[mm]\vec n [/mm](t) = 6(-cos(t)-cos(3t),-sin(t)+sin(3t))
2) Bogenlänge:
S= [mm] \integral_{0}^{\pi}{\wurzel{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}} dt}
[/mm]
hier habe ich nachgelesen, dass man mit der Symmetrie arbeiten kann: x(t)=x(-t) (Punktsymmetrie) und y(t) = -y(-t) (Achsensymmetrie)
wie ich das ganz genau hier anwenden kann verstehe ich jedoch nicht!
= 2 [mm] \integral_{0}^{\bruch{pi}{2}}{\wurzel{(-6sin(t)+6sin(3t))^{2}+(6cos(t)+6cos(3t))^{2}} dt}
[/mm]
= 2 [mm] \integral_{0}^{\bruch{pi}{2}}{6\wurzel{(-sin(t)+sin(3t))^{2}+(cos(t)+cos(3t))^{2}} dt}
[/mm]
= 2 [mm] \integral_{0}^{\bruch{pi}{2}}{6\wurzel{2+2(-sin(t)sin(3t)+cos(t)cos(3t))} dt}
[/mm]
= [mm] 12\wurzel{2} \integral_{0}^{\bruch{pi}{2}}{\wurzel{(cos(t)(4cos^{3}(t)-3cos(t)-sin(t)sin(3t)+1)} dt}
[/mm]
= [mm] 12\wurzel{2} \integral_{0}^{\bruch{pi}{2}}{\wurzel{(-sin(t)(4sin^{3}(t)-3sin(t))+4cos^{4}(t)-3cos^{2}(t)+1)} dt}
[/mm]
= [mm] 12\wurzel{2} \integral_{0}^{\bruch{pi}{2}}{\wurzel{(-4sin^{4}(t)+3sin^{2}(t)+4cos^{4}(t)-3cos^{2}(t)+1)} dt}
[/mm]
= [mm] 12\wurzel{2} \integral_{0}^{\bruch{pi}{2}}{\wurzel{(cos^{2}(t)+sin^{2}(t))(4cos^{2}(t)-4sin^{2}(t))+3sin^{2}(t)-3cos^{2}(t)+1} dt}
[/mm]
= [mm] 12\wurzel{2} \integral_{0}^{\bruch{pi}{2}}{\wurzel{4cos^{2}(t)-4sin^{2}(t)+3sin^{2}(t)-3cos^{2}(t)+1} dt}
[/mm]
= [mm] 12\wurzel{2} \integral_{0}^{\bruch{pi}{2}}{\wurzel{cos^{2}(t)-sin^{2}(t)+1} dt}
[/mm]
= [mm] 12\wurzel{2} \integral_{0}^{\bruch{pi}{2}}{\wurzel{cos^{2}(t)+sin^{2}(t)-sin^{2}(t)-sin^{2}(t)+1} dt}
[/mm]
= [mm] 12\wurzel{2} \integral_{0}^{\bruch{pi}{2}}{\wurzel{-2sin^{2}(t)+1} dt}
[/mm]
= [mm] 12\wurzel{2} \integral_{0}^{\bruch{pi}{2}}{\wurzel{cos^{2}(t)} dt}
[/mm]
= [mm] 12\wurzel{2} \integral_{0}^{\bruch{pi}{2}}{|cos(t)|}dt [/mm] |cos(t) > 0
= [mm] 12\wurzel{2} \integral_{0}^{\bruch{pi}{2}}{cos(t)}dt [/mm] Stammfunktion von cos(t) ist sin(t)
= [mm] 12\wurzel{2}
[/mm]
3) die scheitelpunkte und eine darstellung der evolute von C
sooo hier habe ich gelesen dass man wie folgt vorgeht:
y''x'-x''y'=(-6sin(t)-18sin(3t))(-6sin(t)+6sin(3t))-(-6cos(t)+18cos(3t))(6cos(t)+6cos(3t))
= [mm] 36(sin^{2}(t)+2sin(3t)sin(t)-3sin^{2}(3t)+cos{2}(t)+2cos(3t)cos(t)-3cos^{2}(3t))
[/mm]
=36(-2+2sin(3t)sin(t)+2cos(3t)cos(t))
=72(sin(3t)sin(t)+2cos(3t)cos(t)-1)
x' ^{2}+y' ^{2}=72 [mm] cos^{2}(t) [/mm] (siehe Ende zweite Aufgabenteil)
X(t) = [mm] \bruch{y'' x' - x'' y' }{(x' ^{2}+y' ^{2})^{\bruch{3}{2}}}
[/mm]
= [mm] \bruch{72(sin(3t)sin(t)+2cos(3t)cos(t)-1)}{72cos^{2}(t)^{\bruch{3}{2}}}
[/mm]
= [mm] \bruch{sin(3t)sin(t)+2cos(3t)cos(t)-1}{cos^{2}(t)^{\bruch{3}{2}}}
[/mm]
Nun weiß ich nicht mehr wie ich weiter vorgehen soll! Hier wird man nun im Weiteren Verlauf wohl auch wieder mit der Symmetrie arbeiten? Wie gesagt, sitze nun heute schon 4 Stunden dran, aber finde im Internet keine passenden Beispielaufgaben oder Erklärungen wie ich an dieser Stelle weiter vorgehen soll! Kann mir das vielleicht jemand erklären?
Mit Aufgabenteil 4 und 5 habe ich mich noch nicht beschäftigt.
Schönen ersten Mai :)
Lg Matthias
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Bin mit dem dritten Teil leider immer noch nicht weiter gekommen.. keiner eine Idee wie das genau funktioniert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 So 03.05.2009 | | Autor: | weduwe |
wenn ich mich nicht vertan habe und wiki recht hat, sollte es in etwa so ausschauen 
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 So 03.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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