Schauderbasis angeben < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] c:=\{x\in\IR^{\IN} ; \limes_{i\rightarrow\infty} x_{i} existiert\} [/mm] der Raum der konvergenten Zahlenfolgen. geben Sie eine Schauderbasis für diesen Raum an(mit Begründung) |
Hallo!
Ich habe keine Idee, wie ich eine Schauderbasis angeben soll.
Nach Definition ist [mm] \{en\}^{\infty}_{n=1} [/mm] eine Schauderbasis von X wenn für alle [mm] x\in [/mm] X es ein eindeutiges [mm] c_i\in \IK [/mm] gibt, sodass [mm] X=\summe_{i=1}^{\infty}c_i e_i
[/mm]
Ich weiß, dass die Reihenfolge in einer Schauderbasis wichtig ist, d. h. man kann sie nicht beliebig ändern.
Kann mir einer eine Idee geben, wie man allgemein Schauderbasen konstruieren kann und wie in diesem Fall hier?
Gruß und vielen Dank schonmal für jede Hilfe
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 Mi 02.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]c:=\{x\in\IR^{\IN} ; \limes_{i\rightarrow\infty} x_{i} existiert\}[/mm]
> der Raum der konvergenten Zahlenfolgen. geben Sie eine
> Schauderbasis für diesen Raum an(mit Begründung)
> Hallo!
> Ich habe keine Idee, wie ich eine Schauderbasis angeben
> soll.
Das glaube ich Dir gerne. Da kommt man nicht so hoplahopp drauf.
Ich verrat es Dir:
Setze
[mm] e_0:=(1,1,1,1,....), e_1:=(1,0,0,0,...), e_2:=(0,1,0,0,...), e_3:=(0,0,1,0,0,...), [/mm] etc.
So nun versuche mal zu begründen, warum $ [mm] \{e_n\}^{\infty}_{n=0} [/mm] $ tatsächlich eine Schauderbasis des Raumes (c) ist.
> Nach Definition ist [mm]\{en\}^{\infty}_{n=1}[/mm] eine
> Schauderbasis von X wenn für alle [mm]x\in[/mm] X es ein
> eindeutiges [mm]c_i\in \IK[/mm] gibt, sodass
> [mm]X=\summe_{i=1}^{\infty}c_i e_i[/mm]
> Ich weiß, dass die
> Reihenfolge in einer Schauderbasis wichtig ist, d. h. man
> kann sie nicht beliebig ändern.
>
> Kann mir einer eine Idee geben, wie man allgemein
> Schauderbasen konstruieren kann
.... allgemein ? Nee, das geht nicht.
F
RED
> und wie in diesem Fall
> hier?
>
> Gruß und vielen Dank schonmal für jede Hilfe
>
> TheBozz-mismo
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Vielen Dank für die Angabe der Schauderbasis. Wir hatten in der Vorlesung ein Lemma, dass besagt, dass man eine Schauderbasis hat, wenn geweisse Voraussetzungen gelten. Ich hab es mal versucht und werd in der Übung sheen, ob es richtig ist.
Gruß
TheBozz-mismo
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