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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Do 13.03.2008 | | Autor: | Tonilein |
| Aufgabe | Eine Schar von Funktionen ht ist durhc ide Gleichung:
ht(x) = 2/3x³ - tx² t Element R; t > 0
1.) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von Ht mit der x-Achse und die Korrdinaten der Extrem- und Wendepunkte in Abhängigkeit von t.
2.) Jeder Graph Ht schließt im vierten Quadranten mit der x-Achse eine Fläche vollständig ein. Für genau einen Wert von t beträgt der Inhalt dieser Fläche 72 FE. Berechnen Sie diesen Wert von t. |
Hey Leute,
natürlich möchte ich nicht, dass ihr die Aufgabe für mich löst, das wäre zum einen zu viel verlangt und zum anderen soll ja nur Hilfe angeboten werden. Schar von Funktionen hatten wir nur kurz angesprochen, was das ist usw. Jedoch weiß ich nicht, ob man irgendetwas dabei beachten muss bzw. anders rechen muss. An sich ist es nicht schwer, Schnittpunkte usw zu berechnen, jedoch ist es erschwert wurden, durch die 2. Variable t. Daher wollte ich fragen, wie man an die Aufgabe herangehen muss. Soll ich nur t beachten?
Vielen Dank schon mal im Voraus.
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Hallo
[mm] f_t(x)=\bruch{2}{3}x^{3}-tx^{2}
[/mm]
Schnittstelle mit der x-Achse: y=0 somit [mm] 0=\bruch{2}{3}x^{3}-tx^{2}=x^{2}(\bruch{2}{3}x-t) [/mm] löse jetzt diese Gleichung [mm] x_1= [/mm] ... und [mm] x_2= [/mm] ...
Extrempunkte: bilde die 1. Ableitung, betrachte t als Zahl, die Ableitungen kannst du ja, dann 1. Ableitung gleich Null setzen, über die 2. Ableitung überprüfen, ob Minimum oder Maximum
Wendepunkte: bilde die 2. Ableitung, dann 2. Ableitung gleich Null setzen
dann machen wir uns Gedanken über b)
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Do 13.03.2008 | | Autor: | Tonilein |
ich habe das jetzt so gerechnet --> siehe Anhang
ist das so richtig?
ehrlich gesagt glaube ich nicht, da ich nicht so genau wusste mit dem t wohin!
Danke schon mal
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: img) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Do 13.03.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
In deiner 2. Zeile steht hinter dem [mm] \bruch{2}{3} [/mm] schon kein x mehr!
[mm] 0=x²(\bruch{2}{3}x-t) [/mm] müsste es heißen.
Und da gehst du dann am besten nicht mit der p-q-Formel ran, sondern mit dem "Nullprodukt".
"Ein Produkt ist dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist."
[mm] x²(\bruch{2}{3}x-t) [/mm] sind ja 2 Faktoren, einmal x² und einmal [mm] (\bruch{2}{3}x-t). [/mm] Und das produkt wird 0, wenn x²=0 oder [mm] (\bruch{2}{3}x-t)=0 [/mm] ist. Beide Gleichungen kannst du jeweils nach x auflösen.
Deine berechneten Extremstellen sind richtig, jedoch solltest du diese nochmal ordentlich in die 2. Ableitung einsetzen! Einmal brauchst du f''(t) und f''(0).
f''(x)=4x-2t
f''(t)=4t-2t=2t>0, da t>0 -> Minimum
f''(0)=0-2t=-2t<0, da t>0 -> Maximum
Bei dir ist es umgedreht, da du die Extremstellen nicht richtig eingesetzt hast! Und die y-Werte der Extrempunkte stimmen leider auch nicht.
Du musst in f(x) einmal für alle x 0 einsetzen (für die y-Koordinate des Hochpunktes) und für alle x t für die y-Koordinate des Tiefpunktes.
Schreiben solltest du das so:
[mm] f(0)=\bruch{2}{3}*0³-t*0²=0 [/mm] (ganz exakt, oder du siehst direkt, dass alles 0 wird! oder du guckst eine deiner Nullstellen an ;))
Und [mm] f(t)=\bruch{2}{3}*t³-t*t²=\bruch{2}{3}*t³-t³=-\bruch{1}{3}t³.
[/mm]
Die x-Koordinate deines Wendepunktes stimmt auch, aber die y-Koordinate musst du dir auch nochmal angucken!
Aber nicht aufgeben, du schaffst das schon noch, wenn du das etwas geübt hast! Ein Problem sehe ich auch noch etwas in deiner Schreibweise.
Bevor dir das irgendwann das genick bricht will ich es dir lieber sagen!
Die Funktionsgleichung lautet [mm] f(x)=\bruch{2}{3}x³-tx², [/mm]
f'(x)=2x²-2tx,
f''(x)=4x-2t.
Aber du kannst nicht schreiben
"f''(x)=4x-2t
=1t-2t
y=-1t"
z.B. da das ja nicht mehr f''(x) wäre, sondern f''(x) mit einer anderen Zahl als x eingesetzt.
Und diese andere Zahl, die du für das x einsetzt, um z.B. y-Werte von Extrempunkte oder Wendepunkten zu bekommen, steht dann hinter dem f in Klammern, also z.B. f(t), f(0), ..., so weiß man, was du da jetzt genau für das x einsetzen wolltest. Habe ich ja bei meiner Berichtigung auch so gemacht.
Das nur so am Rande, am besten du versuchst das erst einmal alles nachzuvollziehen und meldest dichd ann nochmal :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Do 13.03.2008 | | Autor: | Tonilein |
Vielen Dank für deine hilfreiceh Antwort. Das hat mir wirklich sehr geholfen und ich habe jetzt alles nochmal richtig und ordentlich aufgeschrieben. Verstanden habe ich deine Erklärung auch sehr gut, da du das wirklich sehr gut kannst. Vielen Dank nochmal.
Ps: Weißt du auch, wie man Aufgabe b) angeht?
Danke im Voraus.
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Hallo,
aus Aufgabe a) kennst du die Schnittstellen mir der x-Achse, [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=\bruch{3}{2}t, [/mm] das sind gleichzeitig deine Integrationsgrenzen,
[mm] |\integral_{0}^{\bruch{3}{2}t}{\bruch{2}{3}x^{3}-tx^{2} dx}|=72
[/mm]
löse dieses Intgral, setze deine Grenzen ein, beachte dann die Betragsstriche,
ich gebe dir jetzt mal ein Zwischenergebnis
[mm] |-\bruch{27}{96}t^{4}|=72 [/mm] du erhälst dann t=4
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Do 13.03.2008 | | Autor: | Tonilein |
also irgendwie komme ich nicht auf dein zwischenergebnis und ein anderes t habe ich auch raus
> [mm]|\integral_{0}^{\bruch{3}{2}t}{\bruch{2}{3}x^{3}-tx^{2} dx}|=72[/mm]
wenn ich das aufgeschrieben habe, setze ich ja nur für x 3/2t ein...doch dann komm ich auf das Ergebnis:
9/4t³ - 9/4³ = 72
also 0 = 72
das kann ja irgendwie nicht stimmen. Hab ich irgendwie falsch eingesetzt oder was vergessen?
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Hallo,
vermutlich ist deine Stammfunktion falsch sie lautet
[mm] \bruch{2}{3}*\bruch{1}{4}*x^{4}-\bruch{1}{3}*t*x^{3}
[/mm]
ich denke, du erkennst, wo [mm] \bruch{1}{4} [/mm] und [mm] \bruch{1}{3} [/mm] herkommen
[mm] \bruch{1}{6}*x^{4}-\bruch{1}{3}*t*x^{3}
[/mm]
jetzt die obere Grenze [mm] \bruch{3}{2}*t [/mm] einsetzen, die untere Grenze ist gleich Null, somit subtrahieren wir Null
[mm] \bruch{1}{6}*(\bruch{3}{2}*t)^{4}-\bruch{1}{3}*t*(\bruch{3}{2}*t)^{3}
[/mm]
[mm] \bruch{81}{96}t^{4}-\bruch{108}{96}t^{4}
[/mm]
es stand ja in Betragsstrichen
[mm] |-\bruch{27}{96}t^{4}|=72
[/mm]
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Do 13.03.2008 | | Autor: | Tonilein |
Ja du hattes recht, ich habe einen kleinen Fehler bei meiner Stammfunktion gemacht. Jetzt habe ich auch das Ergebnis raus und alles ist richtig.
Vielen Dank und einen schönen Abend noch 
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