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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:54 So 15.03.2009 | | Autor: | Pollux |
allo,
ich komme bei einer "Rechenaufgabe" nicht weiter und hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Zunächst zur Notation:
Gegeben sei eine Folge linearer Modelle [mm] Y_n [/mm] = [mm] x_n^T \beta [/mm] + [mm] \epsilon_n [/mm] mit [mm] x_n ,\beta\in \IR^p. \beta [/mm] sei der Parametervektor, [mm] \epsilon_n [/mm] der Fehlerterm mit [mm] Var(\epsilon_n)=\Sigma_n [/mm] , [mm] Y_n [/mm] die abhängige Variable.
Außerdem sei [mm] \Sigma_{n+1}=\pmat{\Sigma_n & \sigma_n \\ \sigma_n^T & \sigma_{n+1}} [/mm] und [mm] X_n^T [/mm] = [mm] (x_1,...,x_n).
[/mm]
Es soll nun [mm] E((Y_{n+1} [/mm] - Z [mm] )^2) [/mm] unter der Bedingung [mm] E(Y_{n+1}-Z) [/mm] = 0 minimiert werden, wobei [mm] Z=(Y_1,...,Y_n)*b [/mm] und [mm] b\in \IR^n [/mm] entsprechend gewählt werden soll.
Soviel zur Aufgabe!
Die Zielfunktion kann man einfach als Varianz umschreiben, dann muss nur noch folgendes minimiert werden:
[mm] E((Y_{n+1}-Z)^2)=Var(Y_{n+1}-Z)=Var((-b^T,1)(Y_1 ,...,Y_n [/mm] , [mm] Y_{n+1} )^T) [/mm] = [mm] (-b^T,1)\Sigma_{n+1} (-b^T,1)^T [/mm] = [mm] b^T\Sigma_n b-2*\sigma_n^T*b+\sigma_{n+1}
[/mm]
Notwendige Bedingung: [mm] {\partial E((Y_{n+1}-Z)^2)}/{\partial b} [/mm] = [mm] 2*\Sigma_n*b-2*\sigma_n [/mm] = 0 => [mm] b=\Sigma_n^{-1}*\sigma_n
[/mm]
[mm] \fedoff
[/mm]
Meine Lösung ist also: [mm] Y^^=(Y_1,...,Y_n) *\Sigma_n^{-1} *\sigma_n [/mm] .
Als Lösung sollte jedoch folgender Schätzer herauskommen, der bis auf den Anfang, keine Ähnlichkeit mit meiner Lösung hat:
[mm] (Y_1,...,Y_n)(\Sigma_n^{-1} \sigma_n [/mm] + [mm] \Sigma_n^{-1} X_n ((X_n^T \Sigma_n^{-1} X_n)^{-1}(x_{n+1}-X_n^T \Sigma_n^{-1} \sigma_n)
[/mm]
Könnt ihr mir sagen, was ich falsch gemacht habe? Vielleicht könnt ihr das auch mal durchrechnen? Eventuell muss man auch Optimierung mit Nebenbedingung anwenden (Stichwort:Lagrange)!?
Danke schön und noch schönes Wochenende!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 17.03.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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