Schätzer Gleichverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:44 Do 16.12.2010 | | Autor: | Steffen |
| Aufgabe | Seien [mm] X_i, [/mm] i=1,...,n, unabhängig und gleichverteilt auf [mm] (a-\bruch{1}{2}, a+\bruch{1}{2}). [/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] T=\bruch{1}{2}(\max_{1\le i \le n}X_i+\min_{1\le i \le n}X_i)
[/mm]
ein erwartungstreuer Schätzer für t(a)=a ist. Ist er konsistent?
Hinweis: Beachten Sie die Verteilungssymmetrie der [mm] X_i. [/mm] |
Hallo liebes Forum,
Zur Erwartungstreue muss ich ja prüfen, ob ET=a ist.
[mm] ET=E\bruch{1}{2}(\max_{1\le i \le n}X_i+\min_{1\le i \le n}X_i)=\bruch{1}{2}(E\max_{1\le i \le n}X_i+E\min_{1\le i \le n}X_i). [/mm]
Ich muss also [mm] E\max_{1\le i \le n}X_i [/mm] und [mm] E\min_{1\le i \le n}X_i [/mm] berechnen. Ich kenne zwar die Dichte und Verteilungsfunktion von den [mm] \max_{1\le i \le n}X_i [/mm] und [mm] \min_{1\le i \le n}X_i) [/mm] (die mussten wir in einer früheren Übungsaufgabe schon mal berechnen), aber wenn ich darüber den Erwartungs berechne lande ich irgendwie in einer sehr komplizierten Rechnung.
Geht das auch einfacher? Ich habe den Hinweis nicht genau verstanden. Mit Verteilungssymmetrie ist gemeint, dass die [mm] X_i [/mm] symmetrisch um a verteilt sind oder? Aber wie kann ich das hier ausnutzen?
Nun zur Konsistenz:
Es müsste ja gelten: [mm] T\to [/mm] a in Wahrscheinlichkeit, also [mm] P(|T-a|>\varepsilon)\to [/mm] 0 für alle [mm] \varepsilon>0.
[/mm]
[mm] P(|T-a|>\varepsilon)=P(|\bruch{1}{2}(\max_{1\le i \le n}X_i+\min_{1\le i \le n}X_i)-a|>\varepsilon)
[/mm]
Aber ich weiß leider nicht wie ich hier weiterkomme.
Ich würde mich sehr freuen wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Viele Grüße,
Steffen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:00 Do 16.12.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin Steffen,
hier einige Tipps: Du kannst [mm] $X_i$ [/mm] auffassen als eine Lineartransformation einer im Intervall (0,1) gleichverteilten Variablen [mm] $U_i$. [/mm] Es gibt Formeln fuer die Erwartungswerte, die Varianzen und die Kovarianzen der Ordnungsstatistiken aus einer (0,1)-Gleichverteilung. Tummle dich mal im Internet. ![[]](/images/popup.gif) Das hier ist ein Anfang.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Sa 18.12.2010 | | Autor: | Steffen |
Hallo Luis,
Vielen Dank für deinen Tipp. Ich habe ehrlich gesagt etwas länger gebraucht um zu verstehen was du meinst. Aber ich denke, dass ich bei der Erwartungstreue jetzt deutlich weiter gekommen bin:
Ich betrachte die [mm] X_i [/mm] für a=1/2. Dann erhalte ich
[mm] E\max_{1\le i \le n}X_i=n/(n+1) [/mm] und
[mm] E\min_{1\le i \le n}X_i=1/(n+1).
[/mm]
Also gilt für beliebiges a:
[mm] E\max_{1\le i \le n}X_i=a-0,5+n/(n+1) [/mm] und
[mm] E\min_{1\le i \le n}X_i=a-0.5+(1/n+1)
[/mm]
Daraus ergibt sich dann ET=a und damit Erwartungstreue.
Muss ich die Lineartransformation noch weiter begründen? Es ist eigentlich klar, aber eine formale Begründung fällt mir schwer.
Bei der Konsistenz bin ich leider immer noch nicht weitergekommen. Kannst du mir da bitte einen weiteren Tipp oder einen Ansatz geben? Ich hab wirklich schon sehr lange drüber nachgedacht.
Viele Grüße,
Steffen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Sa 18.12.2010 | | Autor: | luis52 |
> Hallo Luis,
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> Vielen Dank für deinen Tipp. Ich habe ehrlich gesagt etwas
> länger gebraucht um zu verstehen was du meinst. Aber ich
> denke, dass ich bei der Erwartungstreue jetzt deutlich
> weiter gekommen bin:
>
> Ich betrachte die [mm]X_i[/mm] für a=1/2. Dann erhalte ich
> [mm]E\max_{1\le i \le n}X_i=n/(n+1)[/mm] und
> [mm]E\min_{1\le i \le n}X_i=1/(n+1).[/mm]
>
> Also gilt für beliebiges a:
> [mm]E\max_{1\le i \le n}X_i=a-0,5+n/(n+1)[/mm] und
> [mm]E\min_{1\le i \le n}X_i=a-0.5+(1/n+1)[/mm]
>
> Daraus ergibt sich dann ET=a und damit Erwartungstreue.
Prima.
>
> Muss ich die Lineartransformation noch weiter begründen?
> Es ist eigentlich klar, aber eine formale Begründung
> fällt mir schwer.
Nein, ist klar.
>
>
>
> Bei der Konsistenz bin ich leider immer noch nicht
> weitergekommen. Kannst du mir da bitte einen weiteren Tipp
> oder einen Ansatz geben? Ich hab wirklich schon sehr lange
> drüber nachgedacht.
Loesen wir uns mal von dem Notationsoverkill: Sei $U_$ bzw. $V_$ das Minumum bzw. das Maximum. Du musst zeigen, dass Varianz von $(U+V)/2_$ gegen Null konvergiert. Es gilt aber [mm] $\mathrm{Var}[(U+V)/2=(\mathrm{Var}[U]+\mathrm{Var}[V]+2\mathrm{Cov}[U,V])/4$. [/mm] In der o.g. Quelle findest Formeln fuer die Varianzen. Du musst noch nach [mm] $\mathrm{Cov}[U,V]$ [/mm] fahnden.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 So 19.12.2010 | | Autor: | Steffen |
Hallo Luis,
Warum geht es um die Varianz?
Ich muss zeigen, dass [mm] P(|T-a|>\varepsilon) [/mm] gegen 0 konvergiert.
Wegen der Erwartungstreue weiß ich ja jetzt, dass [mm] P(|T-a|>\varepsilon)=P(|T-ET|>\varepsilon) [/mm] ist. Aber für die Varianz fehlt doch noch das Quadrat. Oder ist die Aussage äquivalent?
VG, Steffen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 So 19.12.2010 | | Autor: | luis52 |
> Hallo Luis,
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> Warum geht es um die Varianz?
> Ich muss zeigen, dass [mm]P(|T-a|>\varepsilon)[/mm] gegen 0
> konvergiert.
>
> Wegen der Erwartungstreue weiß ich ja jetzt, dass
> [mm]P(|T-a|>\varepsilon)=P(|T-ET|>\varepsilon)[/mm] ist. Aber für
> die Varianz fehlt doch noch das Quadrat. Oder ist die
> Aussage äquivalent?
>
> VG, Steffen
Nicht aequivalent, nur ist es hinreichend, [mm] $\mathrm{Var}[U+V]\to0$ [/mm] fuer [mm] $n\to\infty$ [/mm] zu zeigen, siehe hier, Seite 279. Eine Aussage ueber die Verteilung von $U+V_$ zu treffen ist vermutlich haarig.
vg Luis
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