Schachbrett ablaufen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Do 05.05.2011 | | Autor: | Physy |
| Aufgabe | Die Aufgabe ist von der Matheolympiade 1970:
Ein Stein liegt auf einem Feld eines n x n- Schachbrettes.
Folgende Züge sind erlaubt:
- eine Verschiebung um ein Feld nach oben,
- eine Verschiebung um ein Feld nach rechts
- und eine Verschiebung auf das links unten anstoßende Feld.
Zeige, das es unmöglich ist, den Stein nach diesen Regeln so zu ziehen, dass er nacheinander alle
Felder genau einmal besucht und seine Wanderung auf dem rechten Nachbarfeld des Ausgangsfeldes
beendet.
Hinweis:
Nimm an, eine solche Wanderung sei mit x Zügen der ersten Art, y Zügen der zweiten und z Zügen
der letzten Art möglich und führe die zu einem Widerspruch. |
Ich habe leider überhaut keine Ahnung, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll .. Kann mir jemand irgendeinen Hinweis geben? bzw. wie soll ich die Züge/Zugmöglichkeiten in die Form einer Gleichung bringen?
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Do 05.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein Tip steht da schon. überleg welche farben, bzw farbenwechsel man haben will. nur der 3 te Zug lässt die farbe, die 2 anderen ändern sie. du fängst etwa auf weiss an und musst schwarz erreichen, du hast 63 Züge
also ein bissel schwarz- weiss denken und knobeln vielleicht erst mal auf nen 4*4 Brett? Wenn du unbedingt ne gleichung willst x+y+z=63
aber einfach mit gleichungen lässt sich das nicht lösen. wie oft kannst du denn am Stück nach oben oder rechts gehen? wenn du mehr davon brauchst was musst du machen? So aufgaben sind zum Grübeln, nicht so wie Schulhausaufgaben einfach nach einem schema losrechnen.
Gruss leduart
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> Die Aufgabe ist von der Matheolympiade 1970:
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> Ein Stein liegt auf einem Feld eines n x n- Schachbrettes.
> Folgende Züge sind erlaubt:
> - eine Verschiebung um ein Feld nach oben,
> - eine Verschiebung um ein Feld nach rechts
> - und eine Verschiebung auf das links unten anstoßende
> Feld.
> Zeige, das es unmöglich ist, den Stein nach diesen Regeln
> so zu ziehen, dass er nacheinander alle
> Felder genau einmal besucht und seine Wanderung auf dem
> rechten Nachbarfeld des Ausgangsfeldes
> beendet.
> Hinweis:
> Nimm an, eine solche Wanderung sei mit x Zügen der ersten
> Art, y Zügen der zweiten und z Zügen
> der letzten Art möglich und führe die zu einem
> Widerspruch.
>
> Ich habe leider überhaut keine Ahnung, wie ich an diese
> Aufgabe herangehen soll .. Kann mir jemand irgendeinen
> Hinweis geben? bzw. wie soll ich die
> Züge/Zugmöglichkeiten in die Form einer Gleichung
> bringen?
>
> danke
Hallo Physy,
man kann es schon über Gleichungen versuchen, wenn
man so etwas wie ein Koordinatensystem einführt.
Denken wir uns ein i-k-Koordinatensystem, welches in der
Startposition des Steines seinen Nullpunkt hat, mit i-Achse
nach rechts und k-Achse nach oben. t sei die Anzahl der
jeweils schon gezogenen Züge. Für t=0 ist also i=0 und k=0.
Geht z.B. der erste Zug nach oben und der zweite nach
links unten, so hätten wir dieses Protokoll:
[mm] $\pmat{t&i&k\\&&\\0&0&0\\1&0&1\\2&-1&0\\.....&.....&.....\\.....&.....&.....}$
[/mm]
Sind nun x,y und z einer Zugfolge bekannt, kann man
dann die Endposition des Steines durch diese Zahlen
ausdrücken. Dann kann man sich überlegen, in welcher
Weise dies zu einem Widerspruch zu den Annahmen
führen könnte.
LG Al-Chw.
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Hallo Physy,
die Aufgabe scheint es ja doch in sich zu haben, wenn ich mir die völlig korrekten Antworten meiner geschätzten Vorredner ansehe.
Gedacht ist sie viel einfacher. Gerade bei den Mathematikolympiaden liegt die Hauptschwierigkeit und Kunst darin, das Unwesentliche zu erkennen, um den kürzesten Lösungsweg zu finden.
Diese Aufgabe ist bequem in weniger als einer Minute zu lösen:
Sei x die Zahl der Schritte nach rechts,
y die Zahl der Schritte nach oben,
z die Zahl der Schritte nach links unten.
Dann muss für einen vollständigen Weg gelten: (I) x+y+z=63
In Richtung der x-Achse muss gelten: (II) x-z=1
In Richtung der y-Achse muss gelten: (III) y-z=0
Das kann man nun sehr leicht einsetzen: z=x-1, y=z, alles in (I):
x+(x-1)+(x-1)=63, also 3x-2=63.
Das ist in natürlichen Zahlen nicht lösbar.
Grüße
reverend
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> Hallo Physy,
>
> die Aufgabe scheint es ja doch in sich zu haben, wenn ich
> mir die völlig korrekten Antworten meiner geschätzten
> Vorredner ansehe.
>
> Gedacht ist sie viel einfacher. Gerade bei den
> Mathematikolympiaden liegt die Hauptschwierigkeit und Kunst
> darin, das Unwesentliche zu erkennen, um den kürzesten
> Lösungsweg zu finden.
>
> Diese Aufgabe ist bequem in weniger als einer Minute zu
> lösen:
>
> Sei x die Zahl der Schritte nach rechts,
> y die Zahl der Schritte nach oben,
> z die Zahl der Schritte nach links unten.
>
> Dann muss für einen vollständigen Weg gelten: (I)
> x+y+z=63
>
> In Richtung der x-Achse muss gelten: (II) x-z=1
>
> In Richtung der y-Achse muss gelten: (III) y-z=0
>
> Das kann man nun sehr leicht einsetzen: z=x-1, y=z, alles
> in (I):
>
> x+(x-1)+(x-1)=63, also 3x-2=63.
>
> Das ist in natürlichen Zahlen nicht lösbar.
>
> Grüße
> reverend
Hallo reverend,
genau auf diese Betrachtung (eben die in waagrechter
und senkrechter Richtung insgesamt zurückgelegten
Wege mittels x,y und z auszudrücken) habe ich mit
meinem Tipp "Koordinaten" abgezielt. Nur wollte ich
nicht gerade die Lösung angeben, sondern nur das
Augenmerk auf die Bewegungen in beiden Richtungen
lenken.
Übrigens hast du übersehen, dass die Aufgabe nicht
für ein "gewöhnliches" 8x8 - Schachbrett, sondern
allgemein für ein nxn - Schachbrett gestellt ist.
Man könnte eventuell noch auf folgende Idee kommen:
welches ist das erste Feld, das der Stein auf seiner
Reise "besucht" ? Ist es das "Heimatfeld", auf dem er
zu Anfang schon liegt, oder ist es das erste besuchte
Nachbarfeld ? (wenn ich zuhause sitze, "besuche" ich
ja meine Wohnung nicht !!)
Auf diese Weise betrachtet, müssten insgesamt [mm] n^2
[/mm]
Felder "besucht" werden (irgendwann nach dem Start
auch das "Heimatfeld". Je nach dem Wert von n ist
dann eine solche Reise möglich oder nicht ...
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 Do 05.05.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
> genau auf diese Betrachtung (eben die in waagrechter
> und senkrechter Richtung insgesamt zurückgelegten
> Wege mittels x,y und z auszudrücken) habe ich mit
> meinem Tipp "Koordinaten" abgezielt.
Das habe ich verstanden. Nur schien mir der Plan eines Bewegungsprotokolls da noch ziemlich irreführend - jedenfalls ein weiter Umweg zur Lösung.
> Nur wollte ich
> nicht gerade die Lösung angeben, sondern nur das
> Augenmerk auf die Bewegungen in beiden Richtungen
> lenken.
Oh, die Lösung habe ich nur für n=8 verraten. Es fehlt noch eine Verallgemeinerung.
> Übrigens hast du übersehen, dass die Aufgabe nicht
> für ein "gewöhnliches" 8x8 - Schachbrett, sondern
> allgemein für ein nxn - Schachbrett gestellt ist.
Nein, habe ich nicht. Aber ich hätte klarer machen müssen, dass ich nur den Lösungsweg vorstelle, der nun noch einen letzten Schritt braucht.
> Man könnte eventuell noch auf folgende Idee kommen:
> welches ist das erste Feld, das der Stein auf seiner
> Reise "besucht" ? Ist es das "Heimatfeld", auf dem er
> zu Anfang schon liegt, oder ist es das erste besuchte
> Nachbarfeld ? (wenn ich zuhause sitze, "besuche" ich
> ja meine Wohnung nicht !!)
> Auf diese Weise betrachtet, müssten insgesamt [mm]n^2[/mm]
> Felder "besucht" werden (irgendwann nach dem Start
> auch das "Heimatfeld". Je nach dem Wert von n ist
> dann eine solche Reise möglich oder nicht ...
Ich denke nicht, dass die Aufgabe so gemeint ist, sondern dass das Ausgangsfeld bereits mitgezählt wird. Dann nämlich kann man allgemein zeigen, dass die Reise unmöglich ist. Und erst das macht die Aufgabe sinnvoll und interessant, scheint mir.
> LG Al
Herzliche Grüße
rev
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