Schachbrett, Türme < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Sa 16.03.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Auf einen Schachbrett sollen 8 Türme so positioniert werden, dass keiner im Wirkungsbereich eines anderen liegt. Wieviele Möglichkeiten gibt es? |
Wenn ich sage die Türme sind unterscheidbar, dann nummeriere ich sie von 1-8 durch.Für den 1 Turm hab ich [mm] 8^2 [/mm] Möglichkeiten , für den 2 Turm [mm] 7^2 [/mm] Möglichkeiten,.. für den 8 Turm 1 Möglichkeit. Insgesamt [mm] (8!)^2 [/mm] Möglichkeiten.
Wenn aber die Türme alle gleich sind. Dann können die Türme in ihrer Reihenfolge permutieren. Erste Turm hat 8 Möglichkeiten nummeriert zu werden zweiter Turm 7 Möglichkeiten nummeriert zu werden..
Führe ich damit nicht wieder eine Numerrierung der Türme ein?
Sind schlussendlich [mm] (8!)^2 [/mm] * 8! Möglichkeiten gegeben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Sa 16.03.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde das ganze wie folgt angehen.
Den ersten Turm kannst du auf ein beliebiges der Felder stellen, also hast du für diesen 8²=64 Mögliche Felder.
den zweiten Turm darfst du nun nicht mehr in dieselbe Reihe und dieselbe Spalte stellen, es bleiben noch 7²=49 Möglichkeiten.
Nun sind für den dritten Turm zwei Spalten und zwei Zeilen belegt, daher hast du noch 6²=36 Möglichkeiten.
Insgesamt bekommst du also die folgende Rechnung:
[mm] 8^{2}\cdot7^{2}\cdot\ldots\cdot1^{2}=\prod_{i=1}^{8}i^{2}=\ldots
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Sa 16.03.2013 | | Autor: | sissile |
Entschuldige, hab ich mich unverständlich im ersten Post ausgedrückt?
Meines Erachtens hab ich genau das im ersten Post geschrieben:
> Wenn ich sage die Türme sind unterscheidbar, dann nummeriere ich sie von 1-8 durch.Für den 1 Turm hab ich $ [mm] 8^2 [/mm] $ Möglichkeiten , für den 2 Turm $ [mm] 7^2 [/mm] $ Möglichkeiten,.. für den 8 Turm 1 Möglichkeit. Insgesamt $ [mm] (8!)^2 [/mm] $ Möglichkeiten.
Meine Frage war, was ich machen wenn alle Türme gleich sind!
> Wenn aber die Türme alle gleich sind. Dann können die Türme in ihrer Reihenfolge permutieren. Erste Turm hat 8 Möglichkeiten nummeriert zu werden zweiter Turm 7 Möglichkeiten nummeriert zu werden..
> Führe ich damit nicht wieder eine Numerrierung der Türme ein?
> Sind schlussendlich $ [mm] (8!)^2 [/mm] $ * 8! Möglichkeiten gegeben?
Wenn meine Frage unklar ist, dann sag es bitte.
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Hallo sissile,
allen Ernstes: Deine Frage ist wirklich nicht klar gestellt. Aber Du scheinst die richtigen Überlegungen zu haben.
Das Ergebnis ist natürlich [mm] \bruch{\left(\produkt_{i=1}^{8}i\right)^2}{8!}=8!=40320
[/mm]
Die Fakultät gehört in den Nenner. Überleg mal, warum.
Grüße
reverend
PS: Übrigens wird die Aufgabe viel interessanter, wenn man spiegel- und drehsymmetrische Lösungen noch ausschließt, und noch besser, wenn man Damen statt Türme nimmt. 
All das ist glücklicherweise nicht gefordert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Sa 16.03.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo
Für die Nummerierung der Türme gibt es 8! Möglichkeiten.
Muss es nun nicht - wenn die Türme alle gleich sind - mehr Möglichkeiten geben als wenn die Türme unterscheidbar sind?
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Hallo nochmal,
> Für die Nummerierung der Türme gibt es 8!
> Möglichkeiten.
Äh, ja. Und?
> Muss es nun nicht - wenn die Türme alle gleich sind -
> mehr Möglichkeiten geben als wenn die Türme
> unterscheidbar sind?
Im Gegenteil. Es ist doch genau umgekehrt.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Sa 16.03.2013 | | Autor: | sissile |
> Hallo nochmal,
>
> > Für die Nummerierung der Türme gibt es 8!
> > Möglichkeiten.
>
> Äh, ja. Und?
Das ist eben der Unterschied zwischen Türme unterscheidbar - Türme alle gleich.
> > Muss es nun nicht - wenn die Türme alle gleich sind -
> > mehr Möglichkeiten geben als wenn die Türme
> > unterscheidbar sind?
>
> Im Gegenteil. Es ist doch genau umgekehrt.
Warum? Ich verstehe nicht wieso das dem entspricht.
Ich muss zugeben ich bin bei Kombinatorik noch gaanz am Anfang auf der Reise..aber das ist ja eher intuitiv.
> Grüße
> reverend
>
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Hallo,
vielleicht genügt schon ein einfacheres Beispiel:
Stell dir zwei Kisten vor. In jede Kiste passt nur eine Kugel. Du hast zwei Kugeln.
Wenn die Kugeln NICHT unterscheidbar sind (z.B. hier jetzt: haben gleiche Farbe) dann gibt es nur eine Möglichkeit die beiden Kugeln in die Kisten zu legen: In jede Kiste kommt eine Kugel.
Wenn die Kugeln unterscheidbar sind (z.B. rote und gelbe Kugel) dann gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder die gelbe Kugel kommt in die linke oder in die rechte Kiste.
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Bei nicht unterscheidbaren Türmen kommst du also zu weniger Möglichkeiten. Eine Stellung von nicht-unterscheidbaren Türmen entspricht ja 8! Stellungen von unterscheidbaren Türmen.
Viele Grüße,
Stefan
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> Hallo,
>
> vielleicht genügt schon ein einfacheres Beispiel:
> Stell dir zwei Kisten vor. In jede Kiste passt nur eine
> Kugel. Du hast zwei Kugeln.
>
> Wenn die Kugeln NICHT unterscheidbar sind (z.B. hier jetzt:
> haben gleiche Farbe) dann gibt es nur eine Möglichkeit die
> beiden Kugeln in die Kisten zu legen: In jede Kiste kommt
> eine Kugel.
>
> Wenn die Kugeln unterscheidbar sind (z.B. rote und gelbe
> Kugel) dann gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder die gelbe
> Kugel kommt in die linke oder in die rechte Kiste.
Hallo Stefan,
du setzt voraus (ohne es klar zu sagen), dass du
doch wenigstens die beiden Kisten als unterscheidbar
betrachtest (linke / rechte Kiste) !
Man könnte sich auch zwei Kisten vorstellen, die
ebensowenig voneinander unterscheidbar sind
wie die beiden Kugeln. Nur wenn sowohl die
beiden Kisten als auch die beiden Kugeln unter-
scheidbar sind, gibt es zwei Möglichkeiten.
Als Minimalvoraussetzung würde ich einmal
davon ausgehen, dass man wenigstens eine
Kugel klar von einer Kiste unterscheiden kann.
Ferner muss man sich bei solchen Aufgaben mit
angeblich "ununterscheidbaren" Objekten noch
eine sehr grundsätzliche mathematische oder
gar ins Philosophische reichende Frage gefallen
lassen: wie sollen wir denn eine Menge von
ununterscheidbaren Elementen (Objekten)
eigentlich abzählen ?
Die Menge [mm] $\{4\,,4\,,4\,,4\,,4\,,4\,,4\,\}$ [/mm] hat beispielsweise
ja nur ein einziges Element, nämlich die 4 ....
Wenn wir in der vorliegenden Aufgabe also
von "8 ununterscheidbaren Türmen" sprechen
wollen, so können wir uns dies realistischerweise
nur so vorstellen, dass wir eigentlich 8 sehr
wohl voneinander unterscheidbare Türme haben,
welche auf ein Schachbrett gestellt werden.
Nur um mathematisch gesehen ein einfacheres
Modell benützen zu können, tun wir so, als ob
die Türme ununterscheidbar seien. Praktisch
könnten wir die Ununterscheidbarkeit immerhin
etwa folgendermaßen realisieren: Ein Helfer H
stellt die Türme auf das Brett und steht mit
dem Versuchsleiter V nur in telefonischem
Kontakt. Für H sind die Türme unterscheidbare
"Individuen", für V nicht.
LG , Al
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> Auf einen Schachbrett sollen 8 Türme so positioniert
> werden, dass keiner im Wirkungsbereich eines anderen liegt.
> Wieviele Möglichkeiten gibt es?
> Wenn ich sage die Türme sind unterscheidbar, dann
> nummeriere ich sie von 1-8 durch.Für den 1 Turm hab ich
> [mm]8^2[/mm] Möglichkeiten , für den 2 Turm [mm]7^2[/mm] Möglichkeiten,..
> für den 8 Turm 1 Möglichkeit. Insgesamt [mm](8!)^2[/mm]
> Möglichkeiten.
> Wenn aber die Türme alle gleich sind. Dann können die
> Türme in ihrer Reihenfolge permutieren. Erste Turm hat 8
> Möglichkeiten nummeriert zu werden zweiter Turm 7
> Möglichkeiten nummeriert zu werden..
> Führe ich damit nicht wieder eine Numerierung der Türme
> ein?
> Sind schlussendlich [mm](8!)^2[/mm] * 8! Möglichkeiten gegeben?
Nein, du führst nicht eine weitere Nummerierung ein,
sondern du lässt die zuerst (eigentlich unnötigerweise)
eingeführte Nummerierung wieder weg !
Also nicht nochmals mit 8! multiplizieren, sondern
durch 8! dividieren !
Ganz ohne Nummerierung der Türme ginge es so:
du hast das Schachbrett und 8 ununterscheidbare
Türme. Damit kein Turm irgendeinen anderen
schlagen kann, muss in jeder der 8 Zeilen (numeriert
von 1 bis 8) genau an einer der 8 Positionen (mit
A bis H bezeichnet) ein Turm stehen, und zwar
müssen alle gewählten Positionen voneinander
verschieden sein. Jedes Ergebnis einer solchen
Aufstellung der 8 Türme kann durch eine Permutation
der 8 Buchstaben A bis H eindeutig dargestellt
werden. Drei Beispiele:
ABCDEFHG , CFHBADGE , BDEAHGCF
Insgesamt gibt es also exakt so viele Aufstellungs-
möglichkeiten wie Permutationen der 8 Buchstaben,
also 8! = 40'320
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Sa 16.03.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo
Deinen Weg zur Lösung find ich sehr interessant ;)
Danke dafür
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Sa 16.03.2013 | | Autor: | abakus |
> Auf einen Schachbrett sollen 8 Türme so positioniert
> werden, dass keiner im Wirkungsbereich eines anderen liegt.
> Wieviele Möglichkeiten gibt es?
> Wenn ich sage die Türme sind unterscheidbar, dann
> nummeriere ich sie von 1-8 durch.Für den 1 Turm hab ich
> [mm]8^2[/mm] Möglichkeiten , für den 2 Turm [mm]7^2[/mm] Möglichkeiten,..
> für den 8 Turm 1 Möglichkeit. Insgesamt [mm](8!)^2[/mm]
> Möglichkeiten.
> Wenn aber die Türme alle gleich sind. Dann können die
> Türme in ihrer Reihenfolge permutieren. Erste Turm hat 8
> Möglichkeiten nummeriert zu werden zweiter Turm 7
> Möglichkeiten nummeriert zu werden..
> Führe ich damit nicht wieder eine Numerrierung der Türme
> ein?
> Sind schlussendlich [mm](8!)^2[/mm] * 8! Möglichkeiten gegeben?
Hallo,
der Ansatz ist recht kompliziert.
Da zwei Türme nicht in einer Zeile stehen dürfen, gibt es nur einen Turm pro Zeile.
Der Turm in Zeile 1 hat 8 mögliche Positionen.
Der Turm in Zeile 2 hat nur 7 (er darf nicht in der gleichen Spalte stehen wie der erste).
Der Turm in Zeile 3 hat nur 6 verbleibende Möglichkeiten....
Die Aufgabe ist langweilig. Interessant wird sie erst, wenn man noch zusätzlich verlangt, dass zwei Anordnungen nur dann als verschieden gelten, wenn sie nicht durch Drehung oder Spiegelung auseinander hervorgehen.
Gruß Abakus
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